El principio de Fermat, los extraterrestres y el pelo en el pechete

 Llamaron a la puerta y, antes de que pudiera contestar, Gary entró con aire entusiasmado.

—Illinois ha conseguido una repetición en física.

—¿En serio? Estupendo. ¿Cuándo ha sido?

—Hace unas horas; acabamos de tener una videoconferencia. Deja que te lo enseñe. —Comenzó a borrar mi pizarra.

—No te preocupes, no necesitaba nada de eso.

—Bien. —Tomó un trozo de tiza y dibujo un diagrama:

ejemplorefraccion

—Muy bien, éste es el camino que un rayo de luz traza cuando cruza del aire al agua. El rayo de luz viaja en línea recta hasta que toca el agua; el agua tiene un índice de refracción diferente, así que la luz cambia de dirección. Ya habrás oído esto antes, ¿verdad?

—Claro —asentí.

—Ahora viene lo interesante sobre el camino que toma la luz. El camino es la ruta más rápida posible entre esos dos puntos.

Lo que acabáis de leer es un trozo del relato corto La historia de tu vida, de Ted Chiang. En este relato, los humanos son visitados por una raza extraterrestre y uno de los intentos de comunicación que realizan con ellos es mostrarles distintos conceptos de la física que consideramos básicos, para que ellos puedan repetirlos en su idioma. El problema es que nunca conseguían que les entendieran, por muy simples que fueran esos conceptos. El primer acercamiento a la física de estos visitantes llegó con la ley de Snell, o mejor dicho, con el principio de menor tiempo. Vamos a contar primero un poco de historia de cómo llegamos a este conocimiento y luego veremos por qué estos extraterrestres lo entendieron tan bien.

Desde Ptolomeo hasta Fermat

Desde la antigüedad ha existido interés por estudiar las propiedades de la luz; de hecho en la antigua Grecia conocían sobradamente la reflexión de la luz. En el gráfico con el que comienza la entrada podéis ver que el rayo se reflejará con el mismo ángulo que el rayo incidente, es decir:

\theta_i = \theta_x

Pero no llegaron a dar con una teoría para la refracción. La refracción de la luz se produce cuando en el camino de un rayo de luz hay un cambio de medio. El ejemplo más claro lo tenéis cuando metéis una cucharilla en un vaso de agua: podéis ver que hay una discontinuidad en la imagen que percibís de la cucharilla:

refracción: cucharilla en un vaso con donuts parlantes al fondo

Público hipster comestible admirando la belleza de la física.

En el 140 d. C., Claudio Ptolomeo estudió la refracción creando un dispositivo que le permitía medir los ángulos de refracción de la luz al pasar de aire a agua. Registró los resultados de sus experimentos en una tabla con los valores para los ángulos de incidencia y refracción, pero no encontró la relación existente entre ellos. Hubo que esperar hasta 1621 para que Willebrord Snellius (Snell) encontrara la relación:

n_i \text{sen} \theta_i = n_r \text{sen} \theta_r

Donde n_i y n_r son las velocidades relativas a la velocidad de la luz en el vacío para cada medio.

Hoy en día es un concepto trivial y se suele repetir el experimento y la obtención de este resultado en prácticas de los primeros cursos de física:

Aquí tenéis los datos que obtuve cuando me tocó realizar este experimento. El primer ángulo que aparece en la tabla es el de incidencia y el segundo el de refracción. En la gráfica se representa los valores del seno para ambos ángulos y se puede ver como hay una relación lineal entre ellos.

Y miles de años después de Ptolomeo, yo hice mi propia tabla y, cientos  de años después de Snell, repliqué su descubrimiento. Evidentemente voy un poco atrasado si quiero ser un físico de renombre. En la gráfica podéis ver cómo al representar los senos del ángulo de incidencia y de refracción obtenemos una línea que implica la relación lineal entre ambas magnitudes. En este caso se trataba de un experimento de refracción entre aire y agua.

Pese a que Snell encontró esta relación entre los ángulos, desconocía el motivo de la misma, era una ley totalmente empírica. Así que tuvimos que esperar unos pocos años más para que fuera explicada. En 1650, Pierre de Fermat dio con la solución, y esta vez no le debió parecer tan trivial y escribió toda la demostración en lo que denominó principio del menor tiempo o principio de Fermat. Este principio lo que nos dice es que el camino que seguirá la luz entre dos puntos será aquel en que necesite menos tiempo para recorrerlo, aunque se aleje del camino geométricamente más corto.

Así que cuando la luz va desde el punto marcado como origen al punto marcado como refracción en la gráfica inicial, lo hará recorriendo el camino que le lleve menos tiempo…

contando

Pues lo que te estoy diciendo, que la luz seguirá el camino que signifique recorrer el espacio entre los dos puntos en el menor tiempo posible. Veámoslo con un ejemplo.

El inefable ejemplo del zombi de Schrödinger

Mitch pasaba una mañana tranquila en la caseta, la playa de Santa Mónica era un remanso de paz y el final de su turno se acercaba. Había elegido ese turno porque ese día esperaban la visita de una persona perteneciente a la nobleza española. Cuál fue su sorpresa cuando se encontró que la duquesa era un saco de piel con el pelo de Harpo Marx electrocutado y que, en lugar de hablar, balbuceaba.

Encima el narizotas de su hijo había venido a la playa y llevaba toda el día dando la murga con el teclado, a ver si los productores se apiadaban de él y le ponían a un hijo adolescente en condiciones. Neil Patrick Harris habría hecho un buen papel de hijo, siempre estuvo genial en médico precoz.

—Un momento, la duquesa no está en la tumbona. —Mitch se había despistado con sus sueños de tener un hijo adolescente en condiciones, pero su entrenamiento empezó a funcionar. Cogió sus prismáticos y realizó una rápida inspección de la playa: nada fuera de lo normal, excepto esa medusa en el agua. —Medusas. Un momento, aquí no hay medusas en esta época… ¡ESO ES EL PELO MOJADO DE LA DUQUESA!

Mitch saltó de la caseta hacia la arena ayudado de sus vigorosos brazos. El sol quemaba su piel, pero el pelo que lucía en su pechete le proporcionaba una capa aislante que le permitía pasar imperturbable los momentos de máximo calor. Buchanan inició la carrera impulsado por sus delgadas pero tonificadas piernas, de fondo sonaba la canción más hortera que hayáis podido imaginar en vuestra vida y en su mente solo había un pensamiento: ¡QUÉ NO NECESITE BOCA A BOCA TENGO QUE SALVARLA!

¿Qué camino escogió Mitch para poder salvar a la duquesa?

mitch2

Tranquilos, para hacerlo más sencillo os voy a dar un dato importante, la relación entre la velocidad de Mitch en el agua y en la arena:

Velocidad de Mitch Buchanan

El camino que debe tomar Mitch es el que le permita acercarse corriendo por la arena el máximo tiempo posible aprovechando su mayor velocidad y siempre que no signifique realizar un rodeo excesivo. Es decir, tiene que encontrar un equilibrio entre el espacio recorrido en la arena (más rápido) y el recorrido en el agua (más lento), por lo que elegirá un camino parecido al marcado como c. Veámoslo en este gráfico:

Ley de Snell y principio de Fermat

t1 y t2 es el tiempo que empleará Mitch en recorrer las distancias correspondientes en la arena y en el agua. En la parte de abajo podemos ver la gráfica con la suma de los dos tiempos.

Cuando se alcanza el tiempo mínimo para llegar desde el origen al destino, la razón entre los senos de los ángulos de entrada y salida coincide con la diferencia de velocidad con la que Mitch se desempeña en la arena y el agua.

Sí, tengo que reconocer que os he hecho un poco de trampa, y es que 0,75 es precisamente la diferencia de la velocidad de la luz cuando atraviesa el aire y cuando atraviesa el agua. Así que en esta animación tenéis una demostración muy visual de cómo la ley de Snell y el principio de Fermat son equivalentes, cuando alcanzamos el camino mínimo se cumple la ley de Snell. Fermat tuvo que demostrarlo geométricamente, pero una vez llegado el calculo infinitesimal gracias a Newton y Leibniz, la demostración de que la ley de Snell se obtiene del principio de Fermat es trivial. Podéis verlo en esta página de la Universidad del País Vasco (1).

El principio de Fermat y los extraterrestes a los que hemos dejado colgados hace un buen rato

El principio de menor tiempo, o de Fermat, es lo que denominamos un principio extremal de la física (2). No es el único, la mecánica puede formularse en base a principios de este tipo, tanto la clásica, como la cuántica y el universo tiene una tendencia a seguir caminos mínimos (o máximos). Los extraterrestres de la historia inicial tenían una visión del mundo basada en este tipo de principios; mientras que conceptos básicos para nosotros, como la velocidad instantánea de un objeto, para ellos eran confusos. No puedo decir nada más, porque os fastidiaría el magnífico relato de Ted Chiang, en el que por otro lado, los extraterrestres son simplemente un vehículo para contar una emotiva historia. Un relato que deberíais leer junto al resto de su escasa pero magnífica obra literaria.

¿Me estás diciendo que cuando la luz sale de una fuente sabe llegar al destino en el menor tiempo?

Eso es lo que da a entender Chiang en su relato, pero en este caso yo no lo tengo tan claro. Veámoslo con un ejemplo:

sindestinofijo_2

Ahora la animación lo que hace es calcular el camino óptimo para cada ángulo de incidencia con la superficie de separación aire/agua, podéis ver cómo llegará al destino anterior solo cuando se den las condiciones óptimas. Lo que quiero decir con esta imagen es que el destino final de la luz, aunque parece estar predeterminado, en realidad depende de los obstáculos que encuentre en su camino; si en lugar de agua se encontrara con otro tipo de material, o la superficie de separación estuviera en otro lugar, el recorrido de la luz se vería afectado pero finalmente sería el que llevaría el menor tiempo entre el origen y el final, ¿no es fascinante la física?

Esta entrada participa en la XLI Edición del Carnaval de la Física, alojado en esta ocasión en el blog El Factor Ciencia.

Más información

  1. La ley de Snell y el principio de Fermat con demostraciones matemáticas.
  2. Principios extremales en Cuentos Cuánticos.
  3. La historia de tu vida, Ted Chiang.
  4. The Feynman Lectures on Physics. 26 – Optics: The principle of least time. Richard P. Feynman. De aquí me agencié la idea del salvavidas, ¡gracias maestro!
  5. Un poco de historia de la óptica.
  6. Aquí encontré al lindo Mitch Buchanan que adorna el post.
  7. Animación creada para ilustrar la relación del principio de Fermat con la ley de Snell en GeoGebraTube.
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Publicado el 21 abril, 2013 en Ciencia gamberra, Física básica y etiquetado en , , , , , , , . Guarda el enlace permanente. 14 comentarios.

  1. Estás para que te encierren ;D
    En serio, me encanta lo original que llegas a ser.
    Un beso

  2. SoyCientifico

    Woow Zombi, que pasada, me ha encantado de principio a fin…. :D

    Excelente aporte amigo ;)

  3. Que bueno tu!!, si me lo hubiesen explicao como tu en la escuela, me hubiese hecho físico y además ya sabría (me acabo de enterar) porqué se me da tan mal nadar.

    Que salero y que lúcida la explicación ole!

    un saludo

  4. Sí, pero…

    Por qué el rayo de luz ha de tardar el mínimo tiempo posible?

    Es más, si variamos el “destino”, variamos el índice de refracción? Si la respuesta es sí, significa que para distintos rayos de luz, que tengan distintos destinos, han de tener índices de refracción distintos?

    Y por último, como “sabe” el rayo de luz cual es su “destino” para poder tomar el mejor ángulo?

    • Para “variar” el destino tendrías que cambiar el tipo de materia que va atravesando la luz. En cada superficie de separación que encuentre se producirá una refracción y una reflexión, y en el caso de la refracción los ángulos siempre seguirán la misma relación, que depende de la velocidad de la luz en ambos medios (ley de Snell). Esa dependencia es la que hace que el camino que siga la luz sea el óptimo. En la segunda animación se puede ver como cambia el ángulo de salida según el de entrada, en esta animación se está manteniendo la relación de 0,75 entre las velocidades de la luz en agua y aire; en el primer gráfico se muestra cual es el camino mínimo calculándolo con el tiempo que recorrer la luz (o mitch ;P) en cada zona, y se puede ver como coincide el mínimo con ese 0,75.

      En definitiva, la luz no sabe cual es su destino, su destino es consecuencia de los obstáculos que encuentra en el camino, pero lo que si es seguro es que una vez alcanzado, habrá sido en el tiempo mínimo.

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