Rodando voy

Hay conceptos en física que la primera vez que te los cuentan se te queda cara de tonto. Uno de ellos para mí fue la condición de rodadura, que se cumple cuando un sólido se desplaza por una superficie rodando y sin deslizar. Por ejemplo, si tenemos una rueda que gira cumpliendo la condición de rodadura, tendremos que tras un giro completo la distancia recorrida habrá sido exactamente la longitud de su circunferencia. Podemos ver a continuación un ejemplo cuando el radio de la rueda es uno:

rodadura2

Cuando una rueda con radio 1 gira sin deslizar, la distancia recorrida tras un giro completo será igual a su circunferencia, en este caso l = 2 \pi r = 2\pi

Se trata de un movimiento en el que se combina una traslación y una rotación, hasta aquí nada raro. Pero, ¿y si os digo que cuando la condición de rodadura se cumple, el punto con el que la rueda contacta con el suelo está en reposo?

¿PERO QUÉ ME ESTÁS CONTANDO?

Pues sí, la primera vez que te lo cuentan piensas que el profesor se está quedando contigo. Luego lo apuntas, te lo estudias y finalmente te presentas a un examen en el que aplicas este concepto y todo lo que implica de memoria, sacas el ejercicio adelante, pero sigues sin creértelo. Sin embargo, un día tuve una revelación en forma de curva matemática. Esa curva se llama cicloide, así que dejemos que ella misma nos muestre qué tiene que ver con la condición de rodadura cuando la representamos:

cicloide_solo

La curva cicloide puede representarse con las ecuaciones paramétricas que pueden verse en la imagen. Estas ecuaciones determinan el valor de las coordenadas e y para un punto de una circunferencia de radio r, en cada instante de tiempo t.

La cicloide es la curva roja que ha ido dibujando un punto de la circunferencia (P) mientras la rueda giraba. Y la clave para comprender la condición de rodadura radica en esa extraña forma que se produce cuando P toma contacto con el plano de rodadura:

zoom

Ampliación de la cicloide en el momento en el que va a tocar el eje x.

Esa extraña forma de la cicloide es la que me ayudó a comprender la condición de rodadura y por qué el punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo. Veamos qué sucede con la velocidad de P respecto al eje x y al eje y (cuadro azul) cuando se acerca al punto de contacto:

cicloide_velocidad

Para conocer la velocidad respecto al eje x y el eje y del punto P, simplemente tenemos que derivar las ecuaciones que nos dan la posición x e y. La curva azul es la velocidad en el eje x y la curva roja la velocidad en el eje y.

Voi-lá! Cuando el punto P toma contacto con la superficie, tanto la velocidad en el eje x como la velocidad en el eje y del punto es cero. Nuestro punto P¡está en reposo!

Sin embargo, se mueve

Entonces… ¿cómo se mueve la rueda? Para ello vamos a examinar las aceleraciones para el eje x y el eje y del punto P, que podemos ver en el cuadro rojo:

cicloide_aceleracion

Para obtener la aceleración en el eje x e y, debemos volver a derivar la posición por el tiempo. La curva azul es la aceleración en el eje x y la curva roja la aceleración en el eje y.

En el eje x la aceleración es cero cuando llegamos al punto de contacto pero, como podéis ver, en el eje y tiene un valor positivo. Es decir, cuando el punto P alcanza el punto de contacto está en reposo (su velocidad es cero), pero le afecta una aceleración respecto al eje y, que además es máxima. Por eso cuando la cicloide está llegando al punto de contacto, se acerca casi verticalmente al suelo y luego se aleja también casi verticalmente de este. El momento en el que está en reposo se produce durante un espacio de tiempo infinitesimal y coincide exactamente con el del contacto con la superficie.

¿Se da en la realidad esta condición de rodadura?

Ojalá pudiéramos conducir un vehículo cuyas ruedas cumplieran la condición de rodadura, ya que ahorraríamos mucho en combustible. Si así fuera, la fuerza de rozamiento con el suelo no produciría disipación, sino únicamente perpetuaría la rotación de la rueda, que seguiría rodando hasta que otra fuerza se opusiera a su movimiento. Pero nuestras ruedas no tienen una forma circular perfecta, el peso del vehículo hace que la rueda se aplane en su contacto con el suelo y, por tanto, no hay un único punto de contacto (o mejor dicho, línea de contacto en el caso de un cilindro). Además, nuestro coche debe moverse a través de un fluido como es el aire que provoca también un aumento en el uso de combustible y el terreno no es eternamente plano, hay cuestas. En definitiva, el rozamiento de la carretera ayuda a nuestro coche a rodar, pero también produce desgaste en las ruedas y, junto a la resistencia del aire y otros factores, requiere el esfuerzo de nuestro motor para mantener nuestras ruedas girando.

¿Por qué es tan importante la condición de rodadura?

Cuando se estudia en mecánica clásica el comportamiento del sólido rígido, la condición de rodadura simplifica mucho problemas que tienen que ver con sólidos rodando y trasladándose. Esto se debe a que si tomamos nuestro sistema de referencia respecto al eje del sólido, tanto el peso del cuerpo como la aceleración en el eje y del punto de contacto no producirán momento de fuerza sobre el cuerpo, simplificando el cálculo de la fuerza de rozamiento con el suelo. Así mismo, la condición de rodadura nos permite relacionar la velocidad del centro de masas de nuestra rueda con la velocidad angular de la misma (al recorrer la rueda una distancia igual a su circunferencia en cada giro tenemos que v =wr). Digamos que cuando estudiamos física, además de imaginarnos vacas esféricas, nos gusta hacer que caigan por un plano inclinado cumpliendo la condición de rodadura y, por supuesto, ignorando la resistencia del aire.

Esta entrada participa en la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es High Ability Dimension, y además participa en la XL edición del Carnaval de la Fisica, alojado en esta edición por Cuantos y Cuerdas.

¿Quieres saber más?

En este recurso de la UPM podéis ver una visión más teórica sobre la condición de rodadura.

Wikipedia tiene también una buen artículo sobre condición de rodadura.

Aquí tenéis disponible el archivo Geogebra usado para la animación en el escriba matemático. Además podréis descargar el fichero fuente de la animación si así lo queréis.

La pista que me hizo entender la condición de rodadura es un vídeo de la asignatura de Cálculo con múltiples variables del MIT con Denis Auroux en el que se explican las curvas paramétricas y se hace especial hincapié en la curva cicloide. Aquí lo tenéis:

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Publicado el 15 marzo, 2013 en Carnaval de física, Carnaval de matemáticas, Física básica y etiquetado en , , . Guarda el enlace permanente. 14 comentarios.

  1. Yo lo descubrí leyendo este blog: http://www.ciencia-explicada.com/2012/10/una-de-fisica-la-rueda-y-el-suelo.html

    Luego me leo más despacio, porque me parece chulo la manera de explicarlo con curvas (así que ha molado que hoy no sea mucha ficción 😉

    • Muy bueno, lo voy a poner en las referencias, a mi siempre me ha gustado esta forma de verlo (con la cicloide) porque es muy visual. Yo me sabía toda la formulación y sabía aplicarla al dedillo para resolver los típicos problemas de deslizamiento y luego rodadura, pero hasta que no descubrí la cicloide lo aplicaba mecánicamente, sin comprenderlo realmente.

      Hoy tocaba post de pajarita, pero el próximo será frikada :p

  2. Me encanta el blog, ¡una pena que no me hubiera pasado antes! FELICIDADES
    ¿Qué herramienta has usado para hacer los gifs animados? Me encanta como quedan.

  3. Ja! Qué bueno es este Denis Auroux! al parecer tarde lo pillo.

  4. me ha parecido bastante interesante y surge una cuestion ¿que punto de una rueda gira mas despacio al moverse? me refiero a la rueda motriz y otra cuestion ¿que punto de un trompo gira mas si la parte superior o inferior? un saludo gracias

    • Si por girar te refieres a velocidad angular (ángulo cubierto por unidad de tiempo), todos llevan la misma velocidad angular. Otra cosa es la distancia que se recorre en cada giro y la velocidad a la que se hace. Ahí simplemente hay que multiplicar la velocidad angular por la distancia al eje de giro para tener la velocidad.

      El trompo realiza varios movimientos, no solo el giro alrededor del eje. La verdad es que no lo he estudiado nunca, así que no sabría decirte, pero puede ser buen material para una entrada 😛

  5. Gran explicación para esta condición de rodadura. He sido uno de esos que se aprenden aquello del “punto en reposo” pero que igualmente nunca había llegado a entender exactamente por qué se presentaba el fenómeno. No creí que la cicloide tuviera la respuesta en sus entrañas, fue como un boom. Gracias por tan buen artículo.

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