Naves espaciales, juegos malabares y mucho amor

Hace más de un mes, El tercer Pr3cog publicó una entrada muy curiosa. Teníamos un astronauta en una nave como la de 2001 Odisea del espacio, con una sección rotatoria que permitía crear una zona con gravedad artificial en la nave. Pues bien, lo que hacía uno de los astronautas en el artículo al que me refiero era tirar una pelota de forma que un observador  que se encontraba fuera de la sección rotatoria viera la pelota desplazarse verticalmente y, al propio astronauta que la tiraba, recogerla en el lado opuesto de la sección circular. Algo así:

lanzarbolaexterno

Un buen truco de malabares de nuestro zombinauta invitado, que es nada más y nada menos que Zchrödi, un nuevo colaborador del blog. Pero ahora viene la parte divertida si te gusta la física, porque Pr3cog lanzó un reto y nos dijo que dibujáramos la trayectoria de la pelota desde el punto de vista de Zchrödi. Y tengo que deciros, que os vais a llevar una sorpresa llena de amor.

Lo que tenemos en frente es un problema de cambio de sistemas de referencia. En esta animación podéis ver los distintos sistemas de referencia que tendré en cuenta:

sistemasderefencia3

  1. Un sistema de referencia fijo para el observador externo en el eje de la sección circular, podéis ver su origen marcado con la letra O.
  2. Un sistema de referencia fijo para el observador externo en la base de la sección circular. Sería el sistema de referencia desde el que el observador ve que se lanza la pelota (O’).
  3. Un sistema de referencia en el eje de la sección circular que rota a la misma velocidad angular que la nave (son los ejes discontinuos que parecen las manecillas de un reloj).
  4. Finalmente, tenemos un sistema de referencia desplazado respecto al anterior, que reposa en la superficie de la sección circular (O”).

Primero lo “fácil”: el lanzamiento vertical

A poco que hayáis estudiado algo de física, sabréis que la ecuación del movimiento de nuestra pelota para el primer eje será:

e1

Donde v es la velocidad inicial con la que el astronauta lanza la pelota, mientras que y_0 es la posición inicial de la pelota respecto a O.

Si queremos conocer la posición de la pelota respecto al sistema de referencia 2, basta con hacer una traslación del primer sistema, al tratarse de una traslación en el eje y, lo que hacemos es:

e2

Un cálculo bastante fácil.

Y ahora lo no tan “fácil”

Tenemos descrito el movimiento de la pelota desde el sistema de referencia 1, pero queremos saber como es ese movimiento respecto al sistema de referencia 4, el de nuestro zombinauta.

Si nos fijamos, lo que tenemos es un sistema de referencia sobre el que debemos aplicar primero una rotación 3 y finalmente una traslación 4. Pues bien, para realizar este giro usaremos la matriz de rotación:

e3

Donde w es la velocidad angular de la sección de la nave. No te asustes, que ya estamos llegando a la trayectoria más amorosa que hayas conocido jamás.

Además de la rotación, debemos realizar una traslación del resultado obtenido, por lo que la posición en nuestro sistema de referencia 4 será:

e4

r” es el vector posición (x,y) en el nuevo sistema de referencia, R la matriz de rotación, r el vector posición (x,y) en el sistema de referencia original y r_0 el desplazamiento respecto al sistema de referencia original.

Obteniendo finalmente la siguiente ecuación:

e6

Al realizar la multiplicación de las matrices tenemos la definición de las coordenadas x e y para r”.

Aplicando los datos del problema (¡ya llegamos!):

– Diámetro de la sección rotatoria: 10m

– Velocidad tangencial del suelo de la sección rotatoria:  v_t = 10m/s

– Velocidad angular de la sección rotatoria: w = v_t/r = -1 rad/s (negativo debido al sentido de la rotación)

– Velocidad de la pelota: esta velocidad la vamos a poner en función de los giros que necesita Zchrödi para recogerla. Medio giro de Zchrödi se cumplirá cuando la estación rote un ángulo pi, por tanto tardará en realizar este medio giro pi*w = pi segundos. La pelota debe recorrer 20 metros, el diámetro de la nave, pero vamos a descontar 1 metro a cada lado, que va a ser la distancia al suelo desde la que Zchrödi lanza la pelota. Así tenemos que para recoger la pelota tras medio giro esta deberá llevar una velocidad v=18/pi. De hecho, para saber la velocidad según el número de medios giros de Zchrödi nos bastará con representar la velocidad como v=18/(n pi), donde n es el número de ocasiones que Zchrodi gira 180º. Este número deberá ser impar para que la pelota pueda ser recogida.

– y_0 será -9 metros, que es la distancia respecto al sistema de referencia 1 desde la que Zchrödi lanza la pelota.

e7

Finalmente obtenemos la ansiada trayectoria de la pelota:

bolazfijo2

Podéis ver como la pelota va recorriendo el eje que para el observador externo es el vertical, hasta que vuelve a la mano del zombinauta.

Vaya, vaya, parece que el reto de Pr3cog ocultaba un mensaje lleno de amor, qué corazón más mono nos ha salido. Aunque esto ha tenido un poco de truco y he escogido el recorrido que más me gustaba, el que correspondía a n=3, es decir 3 medio giros de Zchrödi tal como se veía en la imagen inicial del artículo, aquí podéis ver  distintos recorridos dependiendo del número de medio giros que realiza Zchrödi antes de recoger la pelota:

Medio giro

n=1, medio giro… ABURRIDO.

2 giros y medio

n=5, 2 giros y medio que recuerdan a un tapetito de abuela.

8 giros y medio

n=17, 8 giros y medio, aquí ya nos ponemos serios.

Los cambios de sistema de referencia son muy importantes en el estudio de la física. Solo hay que fijarse en lo fácil que es la ecuación del movimiento de la pelota en el sistema de referencia 1 y cómo se complicarían los cálculos si eligiéramos el sistema 4. El ejemplo clásico cuando se estudia este tipo de problemas en física es el de una pelota que da vueltas sujeta por una varilla a un eje y que en un momento dado se suelta de la varilla. Para un observador externo la pelota saldrá en una dirección tangencial a la circunferencia que estaba describiendo. ¿Pero que vemos si fijamos el sistema de referencia en el final de la varilla que sigue girando? Yo ya he cubierto mi cupo de animaciones por esta semana, así que ahora os lo dejo a vosotros.

Más información

– Lanzando pelotas en el interior de una nave espacial rotatoria. El post de Pr3cog que ha provocado esta pequeña locura.

Animación final del post en Geogebratube. Con la que podréis jugar con el valor n para ver las distintas trayectorias de la pelotita.

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Publicado el 11 junio, 2013 en Física básica y etiquetado en , , , , . Guarda el enlace permanente. 11 comentarios.

  1. Fantástico, gracias, un placer leerte.

  2. Un detalle José M., al multiplicar la matriz R por el vector, dices que se obtiene r”=(vt sin wt, vt cos wt). ¿No hay un signo cambiado? ¿No debería ser r”=(-vt sin wt, vt cos wt) ?
    Saludos

    • y esa es la razón por la que me van desangrando poco a poco en los exámenes, que me dejo signos olvidados….. si te fijas la trayectoria implica que la x empieza con valor negativo, así que sí, la x es negativa, pero al montar el Latex me dejé el signo por el camino : (

      Cuando llegue a casa lo cambio, que esta vez lo he puesto como imágenes. !Gracias por la corrección!

  3. José M., sigue habiendo algo que no me cuadra. Las ecuaciones paramétricas:
    x”=-(18/(n pi)) t sen(- t)
    y”=(18/(n pi)) t cos (-t)
    corresponden a una trayectoria espiral y no a las formas de “corazón” que tu dibujas.
    El módulo es:
    r”=(18/(n pi)) t
    Por lo tanto r” crece indefinidamente con t y no regresa nunca al punto de partida.
    No se si no soy yo el que no interpreto bien alguna cosa,.. Saludos.

    • Me merezco un cero en este post XD, la gracia es que en el geogebra están bien las ecuaciones, faltan 9s: x=-(18t/npi – 9) sen(-t), y=(18t/npi – 9) cos(-t) + 9.

      18t/npi -9 es la velocidad desde el punto de vista del sistema de referencia 1, luego el seno y el coseno son la rotación (3) y el +9 en la y es para trasladar al (4)

  4. Ahora sí que me encaja todo. Los 4 gráficos del post son para n=1, 3, 5 y 17 como indicas y para cada uno de ellos el tiempo va desde 0 <= t <= n·pi
    José M., si te parece bien y lo consideras oportuno, envíame un correo con tu dirección de e-mail. Tal vez en alguna ocasión me gustaría hacerte alguna observación o sugerencia fuera de los comentarios de los post.
    Saludos.

    • Sí, fui tan garrulo que al tener en Geogebra las trayectorias bien empezando en -9, quite el 9 en la velocidad para escribir las fórmulas sin darme cuenta de que me estaba cargando la trayectoria, en fin….. mis típicas tonterías que al final me cuestan exámenes 😄 Pero ahora puedes comprobar todas las trayectorias, una vez pasa por el mismo sitio la pelota si que se obtiene una forma más semejante a una espiral creciente.

      Mi correo lo puedes ver en la página Acerca de mi, está puesto con la @ como arroba. Y un placer tener lectores como tú. Voy a tener que ponerme las pilas ^_^. Te aconsejo que te pases por el escriba matemático, puede haber algún post que te guste también, aunque ese solo lo uso para temas menos “generales”.

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