La prueba de Euler

paisaje

—¿Y qué crees que pensarán los habitantes de este planeta cuando te vean con esas pintas? ¿Y dónde vas con esa toalla? ¿A la playa?

—Si leyeras más la maldita guía, sabrías que es importante tener siempre a mano una toalla cuando viajas a otros planetas, pero tú siempre estás con ese manualucho tuyo de exploradores. Además, ¡¿cómo te puedes meter conmigo llevando ese ridículo sombrero?!

—Se llama salacot y es muy útil para este tipo de climas.

—¿Sabes lo que es útil para este tipo de climas? Mi toalla —Carl se limpió el sudor con su toalla mientras miraba desafiante a Thelonious.

Los guerreros de la tribu seguían observando a los extraños visitantes que se gritaban entre sí. La piel oscura de los dos alienígenas les intrigaba y el jefe de la tribu, que se había cansado ya de observarlos, se decidió a actuar, carraspeando sonoramente.

—Oh, vaya, tenemos visita —dijo el hombre que llevaba un sombrero ridículo—. SALUDOS CORDIALES, SOMOS LA EXPEDICIÓN DE BÚSQUEDA Y PRESERVACIÓN DE CULTURAS Z20-10345.

Su compañero lo miró con gesto desaprobador: —Cuántas veces te he dicho que por gritarles y hablar despacio no se van a enterar.

—Pues parece que me han entendido —replicó Thelonious.

—Evidentemente, debido al pez de Babel que te coloqué antes de llegar.

—¿Que me has metido ese pez húmedo asqueroso en la oreja?

—¿Nunca te han dicho que tienes un sueño muy pesado?

El jefe de la tribu volvió a carraspear, esta vez más fuerte. El visitante que llevaba flores dibujadas en la ropa se adelantó y esta vez, por fin, entendieron algo.

—Buenos días, venimos en son de paz en una misión de reconocimiento. Han sido elegidos para decidir el destino de su planeta; si consiguen pasar una prueba de inteligencia, podremos marcar el planeta para que no sea destruido por la flota vogona para la creación de la autopista interestelar DA-42. Mi nombre es Carl y el del sombrero ridículo se llama Thelonious.

Carl abrió la guía. “No se asuste”, el mensaje inicial, siempre estaba allí para recordar a los viajeros que no había que entrar en pánico ante la enormidad de sus contenidos. Rápidamente hizo una búsqueda sobre la función exponencial y encontró el ejemplo que necesitaba.

Los aborígenes se acercaron cuando Carl les hizo una señal mostrándoles la pantalla.

—La función exponencial se puede aproximar mediante la suma de términos

f1

Aquí podéis ver cómo la suma va aproximando la función exponencial:

sucesión

Aproximación mediante los 7 primeros términos. Puede verse como, paso a paso, se va acercando a la función exponencial. (Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Si siguiéramos sumando términos, iríamos aproximando mejor la parte izquierda de la función, pero podéis ver cómo la parte derecha prácticamente es calcada con llegar a cinco términos.

sucesión50

50 términos de la sucesión calculados. Podemos ver cómo al aumentar el número de términos se consigue aproximar mejor la parte izquierda de la función.

Además, esta suma tiene una característica importante si la derivamos o la integramos

f2 f3

Bastaría con manipularlas un poco para volver a obtener la suma inicial:

f4

f5

En este caso bastaría con seleccionar la constante C como 1 para tener de nuevo f(x). En ambos casos se ha hecho un corrimiento del índice n, denominándolo k, para que el exponente y el factorial tengan un valor igual al de f(x).

El jefe de la tribu estaba enfadado, no era precisamente el más listo entre su pueblo, simplemente era el que golpeaba más fuerte con una piedra en la cabeza de sus rivales; por eso mismo los miembros de la tribu se abstenían siempre de mostrar su mayor inteligencia en su presencia.

Thelonious empezó a aplaudir.

–Factoriales, potencias, sumatorias, el concepto de cero y de infinito y finalmente te has gustado integrando y derivando. Te has cubierto de gloria, Carl, mira qué cara ponen, no se han enterado de nada. Seguramente no tendrán ni nociones básicas de matemáticas—.Le arrebató la guía a Carl y se acercó al jefe de la tribu.—Fíjense, ésta es la función exponencial y tiene unas propiedades bastante interesantes que hacen que sea muy útil. Para empezar tiene como peculiaridad que, cuando calculamos el área que hay entre la función y esta línea que es el eje, el valor que obtenemos es igual a la diferencia de los valores de la función en los dos extremos que hemos tomado. Fíjense, para medir el espacio he usado unos rectángulos, que cubren la zona, el problema es que miden el área con un error importante; si aumentamos el número de rectángulos… Voi-lá! Acabamos consiguiendo el mismo valor para esta área que para la resta de los valores de la función.

sumainferior_superior

Cuando calculamos la integral entre dos puntos, lo que estamos haciendo es obtener el valor del área que queda por debajo (o encima) de la función hasta llegar al eje x. En el caso de la función exponencial ese área es igual a la diferencia de valores de la propia función entre los puntos elegidos.
En el ejemplo se puede ver como para calcular el área se divide el espacio en intervalos para los que se dibuja un rectángulo, en la suma inferior se elige el valor inferior del intervalo como tope, y en la suma superior el valor más alto del intervalo. A medida que aumentamos el número de rectángulos nos acercaremos al valor real del área a calcular, al reducirse los errores por defecto y por exceso.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

—La otra propiedad interesante que tiene esta función es que en cualquier punto que tomemos su pendiente es igual al valor de la propia función. Pueden ver que, a medida que nos acercamos al punto, la pendiente se iguala con el valor de la función.

pendientesf

La derivada de una función es la pendiente de esta en cada punto. En el caso de la exponencial, la derivada es la propia función, lo que quiere decir que su valor y su pendiente en un punto coinciden.
En este ejemplo se puede ver como al calcular la pendiente entre dos puntos por arriba y por debajo del valor e^1, podemos ir acercándonos al valor de la función a medida que tomamos puntos más cercanos. La línea verde sería la pendiente que estamos calculando por debajo, la roja la que calculamos por arriba y la morada es el valor teórico de la pendiente. Puede verse como las tres líneas convergen a medida que acercamos los puntos por arriba y por abajo.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Thelonious estaba demasiado enfrascado en sus demostraciones para darse cuenta de la piedra que el jefe de la tribu tenía en la mano . El salacot no resultó de mucha utilidad ante la pericia del guerrero para golpearle la cabeza. No se llegaba a jefe sin haber desarrollado una técnica depurada y eficiente.

oOo

Las últimas brasas se apagaban, y los niños de la tribu se peleaban por los últimos trozos de carne de lo que una vez fue Thelonius. El jefe de la tribu se limpió la boca con la toalla de Carl, y la dobló para usarla de almohada; por fin podría dormir con el estómago lleno, aunque fuera la última noche del planeta Tertulius.

Esta entrada participa en la edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Geometría dinámica.

Y esta entrada es en gran parte un homenaje a Douglas Adams y su guía del autoestopista galáctico. Los que conozcáis la guía espero que lo hayáis disfrutado y los que no, ¿a qué esperáis?

Recursos

Aquí tenéis las fuentes que he creado en Geogebra para ilustrar el post:

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Publicado el 23 junio, 2013 en Carnaval de matemáticas, Ciencia gamberra, Relatos y etiquetado en , , , , , , , . Guarda el enlace permanente. 7 comentarios.

  1. Entre tu imaginación, tu creatividad y tus gráficas envidiables juegas con ventaja 😉
    Anda que no se lo debe pasar teta el miniZombi con un padre tan divertido y gamberro como tú!!!
    Tendré que hacerme una camiseta que ponga Fan del Zombi de Schrodinger
    Un besote!!!

    • Aquí ha tenido mucho que ver un profesor que hace poco nos preguntó como le explicaríamos que es la función exponencial a alguien que no supiera de matemáticas. En parte Thelonious y Carl son trocitos de mi personalidad asesinadas por unos aborígenes que han quedado descontentos con mis pésimas explicaciones XD (sí, a veces puedo llegar a ser tan odioso como Thelonious)

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