El péndulo y Galileo (I)

El joven estudiante parecía en trance mientras miraba la lámpara balancearse.

—Deberían tener más cuidado al encenderlos, las sueltan sin más y se pasan toda la misa moviéndose —susurró uno de sus amigos.

Galileo ni se dignó en contestar y siguió en su particular trance, sin perder de vista ninguno de los vaivenes de la lámpara. Una vez acabado el oficio se levantó y se dirigió a sus amigos:

—¿No os resulta extraño el movimiento de la lámpara? ¿Habéis visto cómo a medida que se reducía el vaivén del mismo, su velocidad era menor?

—¿Y qué tiene de extraño, Galileo?

—¿Y si os dijera que el tiempo que dura cada ida y vuelta de la lámpara es el mismo, independientemente de la amplitud del movimiento? —Y dicho esto se puso el sombrero y salió rápidamente hacia su casa, tenía mucho trabajo por delante si quería satisfacer su curiosidad.

Anécdota apócrifa de la vida de Galileo

Sí, hoy hablaremos del genio italiano y para ello contaremos con una de sus herramientas favoritas: el péndulo.

CreepyMagazine069-12

Tranquilos, hoy no hablaremos de “El pozo y el péndulo” de Edgar Allan Poe, pero no podía resistirme a meter con calzador el péndulo más famoso junto al de Foucault.

El péndulo y la caída libre de objetos

En su obra Diálogo sobre dos nuevas ciencias, Galileo explica sus conocimientos a través del diálogo entre tres personajes. Veamos un ejemplo:

SAGREDO. Permitidme, señor Salviati, que diga dos palabras. Decidme, señor Simplicio, si admitís que se puede decir con certeza absoluta que las velocidades del corcho y del plomo son iguales siempre que los dos cuerpos, puestos en movimiento al mismo tiempo desde el mismo punto de partida y moviéndose por las mismas inclinaciones, recorran siempre espacios iguales en tiempos iguales.

SIMPLICIO. Es algo que está fuera de dudas y que no se puede negar.

SAGREDO. Ahora bien, ocurre con los péndulos, que cada uno de ellos recorre sesenta grados, después cincuenta, treinta, diez, ocho, cuatro, dos, etc. Y cuando ambos recorren el arco de setenta grados, lo recorren en el mismo tiempo; también recorren en el mismo tiempo el arco de cincuenta grados […]. Se puede, por tanto, concluir que la velocidad del plomo en el arco de setenta grados es igual a la velocidad del corcho en el arco que tiene los mismos setenta grados y que sus velocidades son iguales tanto en el arco de cincuenta grados como en cualquier otro. Con esto no se dice que la velocidad de los péndulos en el arco de sesenta grados sea la misma que la velocidad en el arco de cincuenta […]. Las velocidades son, más bien, siempre menores en los arcos también menores, cosa que nos muestra la experiencia, ya que podemos ver cómo el mismo móvil emplea el mismo tiempo para recorrer el arco grande de setenta grados, el de cincuenta grados y el arco pequeño de diez, y que, en suma, los recorren todos en tiempos iguales […].

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Jornada Primera. Galileo Galilei

Este retazo del trabajo de Galileo es como un pequeño cerdo, se puede aprovechar hasta los andares. Galileo presenta pruebas para asegurar que la velocidad de caída de los cuerpos no depende de su peso. Para ello nos describe el comportamiento de un péndulo.

Cuando vemos un péndulo oscilar, estamos viendo un objeto caer. Sí, lo he dicho bien, caer. Pero con una restricción: la cuerda, que sujeta el peso y le obliga a describir un arco. Galileo experimentó con diferentes pesos, longitudes de cuerdas y amplitudes iniciales. Descubrió que el tiempo en el que un péndulo realizaba cada recorrido completo de lado a lado (oscilación) era igual para longitudes de cuerda iguales. Y más importante todavía, ese tiempo no dependía del peso que hubiera al final de la cuerda.

Para Galileo esto era una prueba de que el peso no afecta a la velocidad de caída de los cuerpos. En su época era una afirmación revolucionaria, pero tenemos numerosas pruebas de que este hecho es cierto. Como el vídeo que podéis ver a continuación:

En el vídeo, el astronauta demuestra cómo una pluma y un martillo caen a la vez en la Luna. ¿Por qué no lo hacen en la tierra?

SALVIATI. […] No hay esfera tan grande ni materia tan pesada que la resistencia del medio, por muy penetrable que sea, no frene su aceleración, reduciéndola a la larga a un movimiento uniforme.

Pues sí, cuando lanzamos la pluma y el martillo sufren de forma distinta la resistencia del aire de nuestra atmósfera. Un bien preciado del que no disfruta la Luna. Si se repite el experimento de la pluma y el martillo en en un tubo en el que se ha conseguido el vacío, los dos objetos llegaría a la vez al suelo. Pero he señalado también la última parte de la frase, ¿os suena el término velocidad terminal? Parece que Galileo ya lo tuvo en mente en su momento y habla de un frenado de la aceleración hasta que el cuerpo mantiene una velocidad constante.

Pero volvamos al péndulo, ¿porqué no le afecta esa resistencia del medio como a un objeto en caída libre? Sencillo, el funcionamiento del péndulo impide que el peso alcance una velocidad excesivamente alta y la resistencia del aire al movimiento de un objeto es directamente proporcional a su velocidad.

Haciendo problemas de bachillerato y enseñándonos a experimentar

Galileo no nos dio una fórmula para calcular el periodo del péndulo, de hecho en sus diálogos no encontramos fórmulas; pero si buscáis, podréis detectar mucha información que demuestra la genialidad del italiano:

SALV. De lo que sigue que las longitudes de los hilos tienen, entre sí, la misma proporción que los cuadrados de los números de oscilaciones que tienen lugar en el mismo tiempo.

SAGR. Si he entendido bien, yo podría entonces conocer rápidamente la longitud de una cuerda, que cuelga de una altura todo lo grande que se quiera, aunque la parte superior se encontrase fuera del alcance de mi vista y sólo se viera la extremidad de la parte de abajo […].

Supongamos, por ejemplo, que en el tiempo en que mi amigo ha contado veinte oscilaciones de la cuerda larga, haya contado yo doscientas cuarenta en la mía, que tiene una longitud de un brazo. Elevados al cuadrado los números veinte y doscientos cuarenta, que dan 400 y 57.600, respectivamente, puedo decir que la cuerda larga contiene 57.600 veces la longitud contenida 400 veces la mía. Dado que mi cuerda no tiene sino una sola braza, al dividir 57.600 por 400 obtengo 144, pudiendo decir que la cuerda tiene 144 brazas de longitud.

SALV. Y no os engañaréis ni siquiera en una pulgada, especialmente si contáis un gran número de vibraciones.

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Jornada Primera. Galileo Galilei

El periodo de un péndulo para pequeñas oscilaciones es el siguiente T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}, donde l es la longitud de la cuerda y g es el valor de aceleración de la gravedad.

El cálculo que realizan Salviati y Sagredo es un problema típico de cursos iniciatorios de física, y se podría resolver de la siguiente forma:

Siendo para el primer péndulo, con longitud conocida, el cuadrado del periodo:

T_1^2 = 4 \pi^2 \frac{l_1}{g}

Y para el péndulo con una cuerda con longitud desconocida:

T_2^2 = 4 \pi^2 \frac{l_2}{g}

Si dividimos ambas expresiones, nos quedará:

\frac{l_2}{l_1} = \frac{T_2^2}{T_1^2}

O lo que es lo mismo l_2 = l_1 \frac{T_2^2}{T_1^2}. Conociendo la longitud del primer péndulo y el periodo de ambos, podemos obtener la longitud del segundo.

Pero lo magnífico de este apartado es la frase final:

SALV. Y no os engañaréis ni siquiera en una pulgada, especialmente si contáis un gran número de vibraciones.

Si alguna vez habéis hecho una práctica para calcular la constante de la gravedad con un péndulo, o para calcular la constante elástica de un muelle, sabréis de lo que hablo. En este tipo de prácticas, puedes usar células fotoeléctricas conectadas a un reloj para controlar el periodo de una oscilación. Pero si el laboratorio no tiene esos medios, hay un método que puede darte una precisión espectacular usando un cronómetro convencional: no calcules el tiempo para una oscilación, sino calcula el tiempo para un número determinado de oscilaciones, por ejemplo cinco. De esta forma, el error a la hora de poner en marcha y parar el cronómetro lo estaremos dividiendo por el número de periodos que estamos contando. Cuantas más oscilaciones midamos, menor será el error que hayamos podido cometer en el cronometrado y, por tanto, más fiable será nuestra medida.

Debo reconocer que mis prácticas con péndulo no fueron para tirar cohetes, pero las que hice con muelles salieron clavadas mediante este método. No tiene ningún mérito, yo contaba con un cronómetro y Galileo contaba con un recipiente de agua al que quitaba una espita para que se derramase en otro recipiente. Luego medía la cantidad de agua que se había derramado para saber el tiempo que había transcurrido.

Nos queda una historia de Galileo y su péndulo, pero me inclino a dejarla para otro día : P

Esta entrada participa en el XLIV Carnaval de la Física alojado en esta ocasión por ZTFNews. Y para mi sorpresa y regocijo, me lleve este entorchado:

Septembre2'13

Más información

El péndulo y Galileo (y II)

A Hombros de Gigantes. Stephen Hawking. Editorial Crítica. Se trata de un recopilatorio con algunos de los trabajos más importantes de la física, entre los que se incluye Diálogos sobre dos nuevas ciencias.

Gravity. George Gamow. Dover Pubn Inc.

Fundamentos físicos del péndulo.

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Publicado el 25 septiembre, 2013 en Carnaval de física, Física básica, Historia de la ciencia, Uncategorized y etiquetado en , , , , . Guarda el enlace permanente. 7 comentarios.

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