El péndulo y Galileo (y II)

En la primera parte de El péndulo y Galileo vimos cómo el italiano usaba esta herramienta para demostrar conceptos como la caída libre de los cuerpos, o para realizar cálculos de longitudes de cuerda. En esta segunda parte vamos a ver cómo ayudó el péndulo a Galileo a realizar sus estudios sobre cinemática.

plano inclinado

Modelo del experimento del plano inclinado inspirado en las investigaciones de Galileo. El péndulo que se puede ver al final del artefacto, servía para medir el tiempo que tardaba la bola en llegar al tope final. Museo de Galileo en Florencia: http://catalogue.museogalileo.it/object/InclinedPlane.html

Galileo y el movimiento uniformemente acelerado

Movimiento uniformemente acelerado es aquel en el que la aceleración es constante. Galileo ya sabía que la aceleración en una caída libre de un objeto era constante, siempre que no fuera frenado por un fluido, como el aire. Para poder estudiar mejor este movimiento utilizó esferas y planos inclinados, ya que la aceleración seguiría siendo constante, pero se reduciría de forma proporcional al ángulo usado, facilitando el estudio. Y lo más interesante, la velocidad a la que el cuerpo llegaba al suelo dependía únicamente de la altura desde la que se dejaba caer.

Doy por supuesto que los grados de velocidad alcanzados por un mismo móvil, en planos diversamente inclinados, son iguales cuando las alturas de los mismos planos son también iguales.

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Galileo Galilei.

Un objeto lanzado desde C tardará lo mismo en llegar al suelo por el plano CD, que por el plano CA. Siempre que el rozamiento sea despreciable.

Dibujo realizado por Galileo para ilustrar que un objeto soltado en C, tardará lo mismo en realizar el recorrido CD, que el recorrido CA. Fuente: click en imagen.

 

Para explicar esta dependencia de la velocidad de la altura, volvió a usar el péndulo:

lf0416_figure_049

Ilustración del experimento del péndulo de Galileo. Fuente: click en imagen.

Salviati: Vuestro razonamiento es sumamente plausible, pero me gustaría aumentar por medio de la experiencia las probabilidades de esto que nos parece verosímil, a fin de que le falte muy poco para que sea equivalente a una exacta demostración.

Imaginaos que esta página sea una pared erigida verticalmente, con un clavo incrustado en ella [figura 46]. Desde dicho clavo se deja colgar una bola de plomo de dos o tres onzas mediante el finísimo hilo AB, cuya longitud es de dos o tres codos, quedando perpendicular a una línea horizontal, DC, que corte a escuadra la vertical AB. Este hilo está separado de la pared por una distancia aproximada de dos dedos. Si llevamos, después, el hilo AB, con la bola, hasta AC y lo dejamos caer libremente, veremos, en primer lugar, que desciende describiendo el arco CB de modo que, sobrepasando el punto B, recorrerá el arco BD, llegando casi a tocar la recta que habíamos trazado, CD. Si no llega a tocarla es por muy poco, siendo la causa de ello la resistencia que oponen el aire y el hilo. De todo esto podemos concluir perfectamente que el impulso que había adquirido la bola en el punto B, al recorrer el arco CB, fue suficiente como para elevarla por el arco BD hasta alcanzar la misma altura. Una vez repetido este experimento varias veces, fijemos un clavo en la pared muy cerca de la perpendicular AB, como podrían ser E o F, que sobresalga de la pared unos cinco o seis dedos. La finalidad de ello es que el hilo AC, al volver a llevar, como antes, a la bola C a través del arco CB, una vez que haya llegado a B chocará el hilo con el clavo E, viéndose obligado a describir el arco BG alrededor del centro E. Con esto podemos ver lo que puede hacer el mismo impulso, el cual, antes, desde el mismo punto B, hizo subir el mismo móvil a través del arco BD hasta la altura de la línea horizontal CD. Ahora, señores, podéis contemplar con placer que la bola se balancea hasta el punto G y lo mismo sucedería si el choque se produjera más abajo, como sería en el punto F, en cuyo caso la bola describirá el arco BI, […]

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Galileo Galilei.

En la actualidad explicar este fenómeno es muy sencillo en un entorno libre de rozamiento: solo debemos recurrir a la ley de conservación de la energía e indicar que la energía potencial gravitatoria del objeto se transforma en energía cinética al llegar al punto más bajo del movimiento, y vuelve a transformarse en energía potencial gravitatoria al subir en su recorrido hacia CD. Pero para llegar a este tipo de razonamiento, basado en energía potencial y cinética, tendremos que esperar al siglo XIX y a que una serie de científicos fueran aupándose a hombros de gigantes, etapa tras etapa.

Galileo no se quedo ahí, y quiso investigar cuál es la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve con aceleración constante. Para ello realizó numerosos experimentos con distintos planos inclinados. La forma en la que Galileo realizó el cálculo una vez obtenidos sus datos fue muy ingeniosa. Actualmente este problema se resuelve con dos integrales: una para obtener la velocidad a partir de la aceleración y otra para obtener la posición a partir de la velocidad. La velocidad será la integral de la aceleración respecto al tiempo:

v = \int a dt = at

Y el espacio recorrido será, a su vez, la integral de la velocidad respecto al tiempo:

x = \int v dt = \int at dt = \frac{1}{2} a t^2

suponiendo una velocidad inicial y posición inicial nula

¿Qué significa esto y cómo podría planteárselo alguien que había nacido antes que Newton y Leibniz y por tanto, no conocía el cálculo diferencial? Veámoslo de una forma más gráfica. A continuación podéis ver la aceleración (a), la velocidad (v) y la posición (x) de un movimiento uniformemente acelerado respecto al tiempo:

galileoa

Si tienes problemas para ver la animación, pulsa sobre la imagen.

Cuando calculamos la integral de la aceleración para obtener la velocidad, lo que estamos haciendo es calcular el área de la función aceleración (a) respecto al eje del tiempo (t) y para la posición ocurre lo mismo. En la imagen podéis ver cómo se corresponden las áreas de las funciones aceleración a con la velocidad v y de la velocidad v con la posición x. Galileo hizo un cálculo muy similar a este, para ello trazó el siguiente gráfico:

galileo1 En el eje horizontal tenemos el tiempo que transcurre desde que se suelta el objeto hasta que llega al final del recorrido. El eje vertical representa la velocidad que alcanza el objeto. Al ser la aceleración constante, este aumento también es constante y tenemos la línea azul que completa el triángulo: la velocidad en cada instante de tiempo. La distancia recorrida por el objeto es el tiempo por la velocidad, justo el área del triángulo que se ha formado:

galileo2

Si nos fijamos, el área de ese triángulo es la mitad del área del cuadrado completo formado por el origen, la velocidad y el tiempo final. Así que Galileo dividió el cuadrado en dos partes iguales de la siguiente forma:

galileo3

El triángulo A es exactamente igual al triángulo B y por tanto la posición final del objeto será:

x = \frac{1}{2} v_f t_f

y como la velocidad es la aceleración por el tiempo (v=at), tenemos la fórmula clásica de la cinemática para el movimiento uniforme acelerado:

x = \frac{1}{2} a t^2

No está nada mal para un hombre nacido en el siglo XVI, ¿verdad?

Esta entrada participa en el XLIV Carnaval de la Física alojado en esta ocasión por Cuantos y Cuerdas.

Más información

A Hombros de Gigantes. Stephen Hawking. Editorial Crítica. Se trata de un recopilatorio con algunos de los trabajos más importantes de la física, entre los que se incluye Diálogos sobre dos nuevas ciencias.

Gravity. George Gamow. Dover Pubn Inc.

Animación del movimiento uniformemente acelerado en geogebratube.

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Publicado el 13 octubre, 2013 en Carnaval de física, Física básica, Historia de la ciencia, Uncategorized y etiquetado en , , , , , , , . Guarda el enlace permanente. 4 comentarios.

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