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Una lección de física arrugando un papel

Hay algunos conceptos básicos de la física que cuando te los cuentan por primera vez crees que se están quedando contigo. Una de esas ocasiones es cuando te dicen que la velocidad de caída de un objeto debida a la atracción de nuestro planeta no depende de su peso.

Sí, ya sé que Galileo lo demostró hace bastante tiempo y lo pude ver en Érase una vez el hombre, pero es que resulta que tengo un pequeñajo en casa y tengo que prepararme mentalmente para cuando lleguen sus preguntas curiosas. Por ahora él se dedica a experimentar tirando todo tipo de cosas al suelo y ya se debe haber dado cuenta de que los objetos pesados suelen caer a una velocidad mucho mayor que los ligeros y hacen mucho más ruido, para su gozo y deleite.

Así que ¿cómo podría explicarle que está equivocado? Vamos a hacer un experimento rápido. Los materiales son fáciles de encontrar:

  • un lápiz
  • un trozo de papel
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Con los elementos para nuestro sencillo experimento preparados.

Ahora dejamos caer el trozo de papel y el lápiz a la vez. El lápiz llegará rápidamente al suelo y mirará desde allí con desdén a la lenta hoja de papel que sigue su recorrido con caótica parsimonia. Vaya, parece que seguimos dándole la razón al pequeñajo, así que vamos a hacer otra prueba: arrugamos el papel formando una bolita, cuanto más esférica mejor.

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Consideremos que la bola de papel es esférica y su masa puntual. La frase que sueña ver todo estudiante en un examen.

Volvemos a dejar caer el lápiz y el papel. En esta ocasión llegan al suelo casi a la vez. Ahora tenemos el momento perfecto para hacerle una pregunta al peque:

–Dime, ¿por qué ahora tardan prácticamente lo mismo en caer? ¿qué ha cambiado?

Es el momento de explicarle cómo la forma del papel ofrecía resistencia al aire que nos rodea, ese mismo aire que respiramos. Explicarle que al arrugar la hoja has reducido drásticamente la resistencia que ofrece y que, en realidad, todos los objetos caerían a la misma velocidad si no estuviéramos rodeados de nuestra atmósfera. Es hora de hablarle sobre las cometas que vuelan en la playa, los pájaros y los aviones; de cómo ese mismo aire, que frena la caída de los objetos, nos permite volar. Es el momento ideal para enseñarle tus diseños magistrales de aviones de papel y bordarlo gracias al astronauta de este vídeo.

Cuando pasen unos años, tendrá la oportunidad de conocer la fórmula que rige este movimiento y de aprender a hacer cálculos como el de la velocidad terminal de un objeto en caída libre. Pero lo más importante es que él ya habrá asimilado el concepto físico subyacente a todo esto, gracias a una simple hoja de papel y un lápiz.

Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojada en el blog de Daniel Martín Reina (@monzoneteLa Aventura de la Ciencia. Y sirve como futura introducción de la próxima edición, que se celebrará en este blog y tratará sobre la física de los objetos cotidianos.

Más información

Hace poco el tercer precog publicó una historia muy curiosa sobre paracaidistas y una calabaza díscola.

Gravity. George Gamow. Dover Pubn Inc. En este libro, Gamow propone este experimento con una moneda y un papel.

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La metamorfosis (del hombre esférico)

Érase una vez un hombre con mucho mérito, puesto que no era gordo, ni orondo, sino más bien esférico.

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Cada año se acercaba a la escuela de su amigo el profesor. Mientras giraba sin parar, su amigo explicaba a los alumnos lo que era la simetría radial.

Pero el hombre esférico con su envoltura no se conformó. Tras mucha verdura, gimnasio y sudor, en un macizo cilindro se transformó.

cilindro

Al año siguiente fue a la escuela a presumir de su nueva figura. Tanto adelgazó, que sus pantalones cayeron, tropezó y rodó con soltura.

Así que su amigo con mucha alegría y de forma magistral, enseñó a los chavales el concepto de simetría axial.

Relatos para mi pequeño QuBit son las historias locas que cuento por las noches a mi pequeño QuBit. Espero que las disfrutéis tanto como nosotros cuando llega la hora de dormir.

¡CUIDADO! Estos cuentos producen somnolencia si tienes menos de dos años.

El pequeño QuBit

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Érase que se era un pequeño QuBit.

Podía estar en todos los estados a la vez,

así que eligió estar siempre feliz.

Hoy mi pequeño QuBit estaba especialmente somnoliento, así que el cuento ha tenido que ser cortito. De paso me he animado a empezar a compartir algunos de los cuentos locuelo-científico-frikis con los que comparto sus últimos parpadeos cada día.

¡CUIDADO! Estos cuentos producen somnolencia si tienes menos de dos años.

El dragón diferencial

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Posada de los dos caminos

El posadero lo había llamado estofado, pero su verdadero nombre debería ser sopa de grasa con tropezón de carne sospechosa. Para mejorar todavía más la cena, seguía molestándole con esa horrible voz nasal:

—Así que decís que habéis venido para matar al dragón —dijo mientras se aguantaba la risa.

Runge levantó la mirada y contestó entre dientes:

—No, he dicho vencer al dragón. —Su intento de parecer duro quedó arruinado al ser incapaz de partir el trozo de pan que acompañaba al estofado. Si pudiera hacerse una armadura con ese pan, el dragón no tendría ninguna posibilidad contra él. El posadero seguía con su espectáculo para alegría de la parroquia.

—Un alfeñique como vos no serviría ni para rellenar el hueco de una muela de ese horrible monstruo. ¿Conocéis al caballero Bernoulli? —Runge palideció, no podía ser, ¿se le había adelantado otra vez ese presuntuoso? La familia Bernoulli siempre se cruzaba en su camino.

El posadero se cansó de esperar la respuesta de su cliente y siguió con su monólogo.

—El dragón lo partió por la mitad con un golpe de su cola antes de que pudiera sacar su espada. Luego chupó las dos mitades como si fueran la cabeza de una gamba.

Un escalofrío mezcla de pavor y de placer recorrió la espina dorsal de Runge. Para evitar que los clientes vieran su irónica sonrisa, contestó con un simple gruñido mientras seguía centrado en su plato. El dueño de la posada tenía carrete para rato, así que siguió poniéndole al día.

—Por vuestro aspecto no sois un guerrero como Bernoulli ¿no seréis uno de esos magos? El gran Frobenius vino aquí jactándose de sus poderes y aseguró que, sin despeinarse, mataría al dragón con una serie de sus potentes conjuros.  Antes de que hiciera su primer pase mágico, el dragón le había atravesado el pecho con una de sus garras.

—No me gusta la magia. Pero empieza a caerme bien ese dragón.

—¿Entonces cómo demonios queréis matarlo?

Runge miró hacia arriba con gesto de desesperación, pidiendo paciencia a los dioses.

—He dicho que venceré al dragón, no que vaya a matarlo. Solo necesito mi ingenio y encontrar las condiciones ideales.

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La verdad sobre la física

Voy a contaros un secreto. Cuando se empieza a estudiar física, todo es como un mundo ideal: las balas de cañón viajan por el vacío y no las frena el aire, las cargas eléctricas están muy quietas en su sitio y los péndulos solo realizan pequeñas oscilaciones. Pero ese mundo ideal se acaba pronto y esas fórmulas tan sencillas de aprender empiezan a escasear. Los sistemas van complicándose y aparecen las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es aquella en la que su valor depende de la tasa de cambio de una de sus variables, o dicho de otra forma, es una ecuación en la que aparecen términos en forma de derivada. En el caso del muelle, la amortiguación es un factor que depende de la propia velocidad del sistema.

m\frac{d^2x}{dt^2} = -k x - b\frac{dx}{dt}

Ecuación de la segunda ley de Newton que describe el comportamiento de un muelle amortiguado.

También hay un mundo ideal de las ecuaciones diferenciales. Durante un tiempo el profesor te lanza legiones de ecuaciones diferenciales. Unas pueden ser destruidas con la ayuda de la función exponencial, otras pensando en campos conservativos o en los truquitos que genios como Bernoulli, Frobenius o Laplace nos han regalado. Pero llega un día en el que ante ti se presenta la ECUACIÓN; hasta ese día has luchado con pequeñas bestias diferenciales, pero ahora tienes en frente al DRAGÓN DIFERENCIAL.

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La prueba de Euler

paisaje

—¿Y qué crees que pensarán los habitantes de este planeta cuando te vean con esas pintas? ¿Y dónde vas con esa toalla? ¿A la playa?

—Si leyeras más la maldita guía, sabrías que es importante tener siempre a mano una toalla cuando viajas a otros planetas, pero tú siempre estás con ese manualucho tuyo de exploradores. Además, ¡¿cómo te puedes meter conmigo llevando ese ridículo sombrero?!

—Se llama salacot y es muy útil para este tipo de climas.

—¿Sabes lo que es útil para este tipo de climas? Mi toalla —Carl se limpió el sudor con su toalla mientras miraba desafiante a Thelonious.

Los guerreros de la tribu seguían observando a los extraños visitantes que se gritaban entre sí. La piel oscura de los dos alienígenas les intrigaba y el jefe de la tribu, que se había cansado ya de observarlos, se decidió a actuar, carraspeando sonoramente.

—Oh, vaya, tenemos visita —dijo el hombre que llevaba un sombrero ridículo—. SALUDOS CORDIALES, SOMOS LA EXPEDICIÓN DE BÚSQUEDA Y PRESERVACIÓN DE CULTURAS Z20-10345.

Su compañero lo miró con gesto desaprobador: —Cuántas veces te he dicho que por gritarles y hablar despacio no se van a enterar.

—Pues parece que me han entendido —replicó Thelonious.

—Evidentemente, debido al pez de Babel que te coloqué antes de llegar.

—¿Que me has metido ese pez húmedo asqueroso en la oreja?

—¿Nunca te han dicho que tienes un sueño muy pesado?

El jefe de la tribu volvió a carraspear, esta vez más fuerte. El visitante que llevaba flores dibujadas en la ropa se adelantó y esta vez, por fin, entendieron algo.

—Buenos días, venimos en son de paz en una misión de reconocimiento. Han sido elegidos para decidir el destino de su planeta; si consiguen pasar una prueba de inteligencia, podremos marcar el planeta para que no sea destruido por la flota vogona para la creación de la autopista interestelar DA-42. Mi nombre es Carl y el del sombrero ridículo se llama Thelonious.

Carl abrió la guía. “No se asuste”, el mensaje inicial, siempre estaba allí para recordar a los viajeros que no había que entrar en pánico ante la enormidad de sus contenidos. Rápidamente hizo una búsqueda sobre la función exponencial y encontró el ejemplo que necesitaba.

Los aborígenes se acercaron cuando Carl les hizo una señal mostrándoles la pantalla.

—La función exponencial se puede aproximar mediante la suma de términos

f1

Aquí podéis ver cómo la suma va aproximando la función exponencial:

sucesión

Aproximación mediante los 7 primeros términos. Puede verse como, paso a paso, se va acercando a la función exponencial. (Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Si siguiéramos sumando términos, iríamos aproximando mejor la parte izquierda de la función, pero podéis ver cómo la parte derecha prácticamente es calcada con llegar a cinco términos.

sucesión50

50 términos de la sucesión calculados. Podemos ver cómo al aumentar el número de términos se consigue aproximar mejor la parte izquierda de la función.

Además, esta suma tiene una característica importante si la derivamos o la integramos

f2 f3

Bastaría con manipularlas un poco para volver a obtener la suma inicial:

f4

f5

En este caso bastaría con seleccionar la constante C como 1 para tener de nuevo f(x). En ambos casos se ha hecho un corrimiento del índice n, denominándolo k, para que el exponente y el factorial tengan un valor igual al de f(x).

El jefe de la tribu estaba enfadado, no era precisamente el más listo entre su pueblo, simplemente era el que golpeaba más fuerte con una piedra en la cabeza de sus rivales; por eso mismo los miembros de la tribu se abstenían siempre de mostrar su mayor inteligencia en su presencia.

Thelonious empezó a aplaudir.

–Factoriales, potencias, sumatorias, el concepto de cero y de infinito y finalmente te has gustado integrando y derivando. Te has cubierto de gloria, Carl, mira qué cara ponen, no se han enterado de nada. Seguramente no tendrán ni nociones básicas de matemáticas—.Le arrebató la guía a Carl y se acercó al jefe de la tribu.—Fíjense, ésta es la función exponencial y tiene unas propiedades bastante interesantes que hacen que sea muy útil. Para empezar tiene como peculiaridad que, cuando calculamos el área que hay entre la función y esta línea que es el eje, el valor que obtenemos es igual a la diferencia de los valores de la función en los dos extremos que hemos tomado. Fíjense, para medir el espacio he usado unos rectángulos, que cubren la zona, el problema es que miden el área con un error importante; si aumentamos el número de rectángulos… Voi-lá! Acabamos consiguiendo el mismo valor para esta área que para la resta de los valores de la función.

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Cuando calculamos la integral entre dos puntos, lo que estamos haciendo es obtener el valor del área que queda por debajo (o encima) de la función hasta llegar al eje x. En el caso de la función exponencial ese área es igual a la diferencia de valores de la propia función entre los puntos elegidos.
En el ejemplo se puede ver como para calcular el área se divide el espacio en intervalos para los que se dibuja un rectángulo, en la suma inferior se elige el valor inferior del intervalo como tope, y en la suma superior el valor más alto del intervalo. A medida que aumentamos el número de rectángulos nos acercaremos al valor real del área a calcular, al reducirse los errores por defecto y por exceso.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

—La otra propiedad interesante que tiene esta función es que en cualquier punto que tomemos su pendiente es igual al valor de la propia función. Pueden ver que, a medida que nos acercamos al punto, la pendiente se iguala con el valor de la función.

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La derivada de una función es la pendiente de esta en cada punto. En el caso de la exponencial, la derivada es la propia función, lo que quiere decir que su valor y su pendiente en un punto coinciden.
En este ejemplo se puede ver como al calcular la pendiente entre dos puntos por arriba y por debajo del valor e^1, podemos ir acercándonos al valor de la función a medida que tomamos puntos más cercanos. La línea verde sería la pendiente que estamos calculando por debajo, la roja la que calculamos por arriba y la morada es el valor teórico de la pendiente. Puede verse como las tres líneas convergen a medida que acercamos los puntos por arriba y por abajo.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Thelonious estaba demasiado enfrascado en sus demostraciones para darse cuenta de la piedra que el jefe de la tribu tenía en la mano . El salacot no resultó de mucha utilidad ante la pericia del guerrero para golpearle la cabeza. No se llegaba a jefe sin haber desarrollado una técnica depurada y eficiente.

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Las últimas brasas se apagaban, y los niños de la tribu se peleaban por los últimos trozos de carne de lo que una vez fue Thelonius. El jefe de la tribu se limpió la boca con la toalla de Carl, y la dobló para usarla de almohada; por fin podría dormir con el estómago lleno, aunque fuera la última noche del planeta Tertulius.

Esta entrada participa en la edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Geometría dinámica.

Y esta entrada es en gran parte un homenaje a Douglas Adams y su guía del autoestopista galáctico. Los que conozcáis la guía espero que lo hayáis disfrutado y los que no, ¿a qué esperáis?

Recursos

Aquí tenéis las fuentes que he creado en Geogebra para ilustrar el post:

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