Archivo de la categoría: Carnaval de física

Una lección de física arrugando un papel

Hay algunos conceptos básicos de la física que cuando te los cuentan por primera vez crees que se están quedando contigo. Una de esas ocasiones es cuando te dicen que la velocidad de caída de un objeto debida a la atracción de nuestro planeta no depende de su peso.

Sí, ya sé que Galileo lo demostró hace bastante tiempo y lo pude ver en Érase una vez el hombre, pero es que resulta que tengo un pequeñajo en casa y tengo que prepararme mentalmente para cuando lleguen sus preguntas curiosas. Por ahora él se dedica a experimentar tirando todo tipo de cosas al suelo y ya se debe haber dado cuenta de que los objetos pesados suelen caer a una velocidad mucho mayor que los ligeros y hacen mucho más ruido, para su gozo y deleite.

Así que ¿cómo podría explicarle que está equivocado? Vamos a hacer un experimento rápido. Los materiales son fáciles de encontrar:

  • un lápiz
  • un trozo de papel
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Con los elementos para nuestro sencillo experimento preparados.

Ahora dejamos caer el trozo de papel y el lápiz a la vez. El lápiz llegará rápidamente al suelo y mirará desde allí con desdén a la lenta hoja de papel que sigue su recorrido con caótica parsimonia. Vaya, parece que seguimos dándole la razón al pequeñajo, así que vamos a hacer otra prueba: arrugamos el papel formando una bolita, cuanto más esférica mejor.

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Consideremos que la bola de papel es esférica y su masa puntual. La frase que sueña ver todo estudiante en un examen.

Volvemos a dejar caer el lápiz y el papel. En esta ocasión llegan al suelo casi a la vez. Ahora tenemos el momento perfecto para hacerle una pregunta al peque:

–Dime, ¿por qué ahora tardan prácticamente lo mismo en caer? ¿qué ha cambiado?

Es el momento de explicarle cómo la forma del papel ofrecía resistencia al aire que nos rodea, ese mismo aire que respiramos. Explicarle que al arrugar la hoja has reducido drásticamente la resistencia que ofrece y que, en realidad, todos los objetos caerían a la misma velocidad si no estuviéramos rodeados de nuestra atmósfera. Es hora de hablarle sobre las cometas que vuelan en la playa, los pájaros y los aviones; de cómo ese mismo aire, que frena la caída de los objetos, nos permite volar. Es el momento ideal para enseñarle tus diseños magistrales de aviones de papel y bordarlo gracias al astronauta de este vídeo.

Cuando pasen unos años, tendrá la oportunidad de conocer la fórmula que rige este movimiento y de aprender a hacer cálculos como el de la velocidad terminal de un objeto en caída libre. Pero lo más importante es que él ya habrá asimilado el concepto físico subyacente a todo esto, gracias a una simple hoja de papel y un lápiz.

Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física, alojada en el blog de Daniel Martín Reina (@monzoneteLa Aventura de la Ciencia. Y sirve como futura introducción de la próxima edición, que se celebrará en este blog y tratará sobre la física de los objetos cotidianos.

Más información

Hace poco el tercer precog publicó una historia muy curiosa sobre paracaidistas y una calabaza díscola.

Gravity. George Gamow. Dover Pubn Inc. En este libro, Gamow propone este experimento con una moneda y un papel.

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We are in it only for the ego

Vamos a ser sinceros. Hacer divulgación está muy bien, es muy divertido, te instala cómodamente en el nivel superior de la pirámide de Maslow: la autorrealización. Sin embargo, lo que realmente nos mantiene en la brecha es el vil y maldito ego.

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Una vez llegas a la autorrealización (la nievecica en lo alto de la montaña), te das cuenta de que encima tienes la pesada losa del ego en frágil equilibrio.

Sí, podemos estar todo lo autorrealizados y contentos que queramos con nuestro trabajo, pero si no hay un resultado en forma de gente diciéndote: “cómo me gusta lo que haces” nos convertimos en una persona triste e insegura, más insegura todavía:

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Horas haciendo esa $%&@ animación y no ha llegado ni a 100 visitas. Me voy a dedicar a publicar fotos de gatos.

Y es que según Herzberg, hay dos tipos de factores a tener en cuenta en la relación con un equipo de trabajo. Voy a tomarlos prestados y retorcerlos para el caso del divulgador amateur:

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Realmente Herzberg pone entre los factores higiénicos el dinero, la comodidad y la seguridad y en los motivantes los logros, responsabilidad, palmadita en la espalda (es un plagio de Maslow, la verdad). PD: eso no son 7 SPAM, es algebra de bool y quiere decir “no Spam” ;P.

Los factores higiénicos hay que mantenerlos en un nivel aceptable para no convertirte en un zombi triste, pero si quieres conseguir ser un zombi feliz, son los factores motivadores los que lo conseguirán (las visitas no dan la felicidad).

Vaya rollo nos has soltado zombi. Pues sí, pero este rollo sirve para decir que esta semana me siento así:

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Porque me han otorgado estas dos cucadas gracias a dos artículos del mes de septiembre:

Septembre2'13

Premio Carnaval Matematicas Septiembre2013

El carnaval de física además tiene alegría doble porque he empatado con el cuaderno de Calpurnia Tate. Y el de matemáticas es un final feliz para la historia de mi dragoncillo. Así que por hoy me retiro en la cima de mi pirámide remozada de Maslow, no sin antes daros las gracias a todos los que me leéis, a todos los que habéis votado y a todos los que ayudáis, en general, a mantener el frágil equilibrio de mi voraz ego y por tanto, mantenerme en la brecha.

SÍ, soy tan cutre que he pegado el dibujo hecho en una hoja de otra libreta.

SÍ, soy tan cutre que he pegado el dibujo hecho en una hoja de otra libreta.

PD: Esta entrada es de auténtica coña ¿o no?

PD2: We are in it only for the money es un disco de los inicios de Frank Zappa, cuando se juntaba con las mothers of invention, que en realidad eran hombres con mostacho y largas barbas.

Más información

Resumen final edición XLIV del carnaval de física en ZtfNews

Resumen final de la edición 4.123105 del carnaval de matemáticas en cifras y teclas

Premio #CarnamatSeptiembre en el blog del Tito del carnaval: el Tito Eliatrón.

Y las ediciones de los carnavales actuales:

Edición XLV del carnaval de física en Cuantos y Cuerdas

Edición 4.1231056 del carnaval de matemáticas en Scientia.

El péndulo y Galileo (y II)

En la primera parte de El péndulo y Galileo vimos cómo el italiano usaba esta herramienta para demostrar conceptos como la caída libre de los cuerpos, o para realizar cálculos de longitudes de cuerda. En esta segunda parte vamos a ver cómo ayudó el péndulo a Galileo a realizar sus estudios sobre cinemática.

plano inclinado

Modelo del experimento del plano inclinado inspirado en las investigaciones de Galileo. El péndulo que se puede ver al final del artefacto, servía para medir el tiempo que tardaba la bola en llegar al tope final. Museo de Galileo en Florencia: http://catalogue.museogalileo.it/object/InclinedPlane.html

Galileo y el movimiento uniformemente acelerado

Movimiento uniformemente acelerado es aquel en el que la aceleración es constante. Galileo ya sabía que la aceleración en una caída libre de un objeto era constante, siempre que no fuera frenado por un fluido, como el aire. Para poder estudiar mejor este movimiento utilizó esferas y planos inclinados, ya que la aceleración seguiría siendo constante, pero se reduciría de forma proporcional al ángulo usado, facilitando el estudio. Y lo más interesante, la velocidad a la que el cuerpo llegaba al suelo dependía únicamente de la altura desde la que se dejaba caer.

Doy por supuesto que los grados de velocidad alcanzados por un mismo móvil, en planos diversamente inclinados, son iguales cuando las alturas de los mismos planos son también iguales.

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Galileo Galilei.

Un objeto lanzado desde C tardará lo mismo en llegar al suelo por el plano CD, que por el plano CA. Siempre que el rozamiento sea despreciable.

Dibujo realizado por Galileo para ilustrar que un objeto soltado en C, tardará lo mismo en realizar el recorrido CD, que el recorrido CA. Fuente: click en imagen.

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El péndulo y Galileo (I)

El joven estudiante parecía en trance mientras miraba la lámpara balancearse.

—Deberían tener más cuidado al encenderlos, las sueltan sin más y se pasan toda la misa moviéndose —susurró uno de sus amigos.

Galileo ni se dignó en contestar y siguió en su particular trance, sin perder de vista ninguno de los vaivenes de la lámpara. Una vez acabado el oficio se levantó y se dirigió a sus amigos:

—¿No os resulta extraño el movimiento de la lámpara? ¿Habéis visto cómo a medida que se reducía el vaivén del mismo, su velocidad era menor?

—¿Y qué tiene de extraño, Galileo?

—¿Y si os dijera que el tiempo que dura cada ida y vuelta de la lámpara es el mismo, independientemente de la amplitud del movimiento? —Y dicho esto se puso el sombrero y salió rápidamente hacia su casa, tenía mucho trabajo por delante si quería satisfacer su curiosidad.

Anécdota apócrifa de la vida de Galileo

Sí, hoy hablaremos del genio italiano y para ello contaremos con una de sus herramientas favoritas: el péndulo.

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Tranquilos, hoy no hablaremos de “El pozo y el péndulo” de Edgar Allan Poe, pero no podía resistirme a meter con calzador el péndulo más famoso junto al de Foucault.

El péndulo y la caída libre de objetos

En su obra Diálogo sobre dos nuevas ciencias, Galileo explica sus conocimientos a través del diálogo entre tres personajes. Veamos un ejemplo:

SAGREDO. Permitidme, señor Salviati, que diga dos palabras. Decidme, señor Simplicio, si admitís que se puede decir con certeza absoluta que las velocidades del corcho y del plomo son iguales siempre que los dos cuerpos, puestos en movimiento al mismo tiempo desde el mismo punto de partida y moviéndose por las mismas inclinaciones, recorran siempre espacios iguales en tiempos iguales.

SIMPLICIO. Es algo que está fuera de dudas y que no se puede negar.

SAGREDO. Ahora bien, ocurre con los péndulos, que cada uno de ellos recorre sesenta grados, después cincuenta, treinta, diez, ocho, cuatro, dos, etc. Y cuando ambos recorren el arco de setenta grados, lo recorren en el mismo tiempo; también recorren en el mismo tiempo el arco de cincuenta grados […]. Se puede, por tanto, concluir que la velocidad del plomo en el arco de setenta grados es igual a la velocidad del corcho en el arco que tiene los mismos setenta grados y que sus velocidades son iguales tanto en el arco de cincuenta grados como en cualquier otro. Con esto no se dice que la velocidad de los péndulos en el arco de sesenta grados sea la misma que la velocidad en el arco de cincuenta […]. Las velocidades son, más bien, siempre menores en los arcos también menores, cosa que nos muestra la experiencia, ya que podemos ver cómo el mismo móvil emplea el mismo tiempo para recorrer el arco grande de setenta grados, el de cincuenta grados y el arco pequeño de diez, y que, en suma, los recorren todos en tiempos iguales […].

Diálogo sobre dos nuevas ciencias. Jornada Primera. Galileo Galilei

Este retazo del trabajo de Galileo es como un pequeño cerdo, se puede aprovechar hasta los andares. Galileo presenta pruebas para asegurar que la velocidad de caída de los cuerpos no depende de su peso. Para ello nos describe el comportamiento de un péndulo.

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Bohr (I): El átomo y el cuanto

—Rutherford al aparato, ¿con quién tengo el placer de hablar?

—Hola Ernst, soy Neils, ¿has recibido el artículo?

—Hola Neils, lo recibí esta mañana y ya estoy revisándolo, hay ciertos puntos que habría que cambiar.

—Ernst, no hay nada que cambiar, ahora mismo salgo para Manchester y lo discutimos.

Niels Bohr es una de las figuras más importantes de la ciencia en el siglo XX. No solo por el camino que abrió su modelo atómico, sino también por la influencia que tuvo en toda una generación de físicos.

En julio de 1913, Bohr publicó en la revista Philosophical Magazine el artículo Sobre la constitución de los átomos y de las moléculas, en el que describió el que hoy conocemos como el modelo atómico de Bohr. Pero, ¿quién era Neils Bohr?

Juventud

Niels nació el 7 de octubre de 1885 en Copenhague. Su padre, Christian, era profesor de fisiología en la Universidad de Copenhague. Su madre, Ellen, era de origen judío, perteneciente a una familia prominente en los círculos bancarios.

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El pequeño Bohr aún no conocía el principio de indeterminación de Heisenberg, pero ya lo aplicaba en las fotos familiares.

Su formación inicial transcurrió en el Gammelhom Gymnasium de Copenhague. Allí coincidió con su hermano menor Harald, un joven brillante que pronto demostró ser un portento de las matemáticas y del fútbol. Mientras Harald jugaba como centrocampista, Niels defendía la portería y se comenta que se dedicaba a escribir fórmulas en los palos, costumbre que provocó sus mejores estiradas y sus peores pifias. Una vez en la universidad, ambos hermanos llegaron a jugar en la primera división danesa con el AB y Harald jugó las olimpiadas de Londres en 1908 con el equipo danés, consiguiendo la medalla de plata.

—Me alegro de conocerle, Bohr. Es usted un gran jugador de fútbol.

—Me temo que se equivoca, Majestad, me está confundiendo con mi hermano Harald.

En la sala se produjo un silencio tenso, nadie le decía al rey que se había equivocado. El rey borró su cara de disgusto y volvió a repetir su saludo:

—Me alegro de conocerle, Bohr. Es usted un gran jugador de fútbol.

—Perdóneme, Majestad, pero como le digo, se confunde con mi hermano Harald. Yo era un portero del montón, mi hermano Harald es el jugador que consiguió una medalla de plata para nuestro país.

El rey atónito, se giró y le indicó al chambelán que la audiencia había terminado. Nadie le llevaba la contraria al rey, y menos dos veces seguidas. Quizás el problema fuera que el rey nunca se había encontrado con una figura como Bohr, que estaba acostumbrado a debatir con Rutherford durante horas hasta convencerlo.

En la universidad, Harald eligió las matemáticas, donde desarrolló una carrera brillante fundando el campo de las funciones casi periódicas. Niels eligió, un año antes, estudiar física y está claro que no se equivocó, ya que poco a poco empezó a brillar por su cuenta.

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Sí, me encantan las fotos de personas eminentes “repeinás”. Aquí tenéis a Harald y Niels posando con sus peinados dignos de un buen lametón de vaca.

El padre de Bohr estaba obsesionado con la obra de Goethe y no paraba de recitar de memoria partes de Fausto a sus hijos. Uno de esos pasajes quedó grabado en la mente de Bohr:

Fausto: —¿Cuál es el camino?

Mefistófeles: —No lo hay a través de sendas que no han sido ni serán pisadas.

Neils Bohr empezó a demostrar su caracter en su tesis doctoral. Estudió la teoría del electrón en los metales y las incongruencias que se habían descubierto en esa época con la teoría electromagnética. Su conclusión fue que las leyes de la física clásica no tenían aplicación a nivel subatómico y para describir lo que sucede dentro del átomo era necesaria una nueva física. Bohr empezó a darse cuenta de que había que iniciar un nuevo camino en la ciencia para explicar todas las incongruencias que la radiactividad y el átomo estaban produciendo en la física.

Para seguir con sus estudios sobre el átomo, decidió desplazarse a Londres, donde J.J. Thomson lo acogió en el laboratorio de Cavendish.

Inglaterra

La estancia de Bohr en el laboratorio de Cavendish no fue agradable. Su inglés era insuficiente y sus ideas demasiado revolucionarias para un grupo de investigadores conservadores. Bohr no pensaba cambiar sus ideas, pero sí se dedicó en cuerpo y alma a mejorar su inglés leyendo las obras de Dickens.

Un rico átomo de Thomson dispuesto para ser engullido

Un rico átomo de Thomson dispuesto para ser engullido. El modelo atómico de Thomson es como un muffin en el que la carga positiva está repartida en el propio muffin y las pepitas de chocolate son los electrones, con la carga negativa.

La suerte sonrió a Bohr cuando su desesperación estaba llegando al límite. En una fiesta dedicada a la memoria de Henry Cavendish, conoció a Ernst Rutherford. La energía que transmitía el danés y el hecho de haber sido jugador de fútbol sorprendieron gratamente a Ernst, que le propuso trasladarse al laboratorio de Manchester.

Rutherford, junto a Geiger y Mardsen, había descubierto que el núcleo atómico estaba confinado en un pequeño espacio en el centro del átomo. El modelo atómico que llevaba su nombre implicaba un átomo parecido a un sistema planetario. Para que os hagáis una idea, la carga positiva sería como una canica en el centro de un estadio de fútbol y los electrones serían cabezas de alfileres dando vueltas alrededor del núcleo a la altura de las gradas.

Sin embargo, el modelo no funcionaba. Las leyes del electromagnetismo aseguraban que los electrones, al dar vueltas alrededor del núcleo, producirían radiación electromagnética, provocando una perdida de energía que les haría colapsar hacia el núcleo. El átomo de Rutherford era inestable, así que era necesario avanzar en la teoría y con este fin llegó Bohr a Manchester.

En cambio el modelo atómico de Rutherford era una especie de sistema planetario, en el que la fuerza de la gravedad era sustituido por la atracción entre cargas eléctricas.

El modelo atómico de Rutherford es una especie de sistema planetario en el que la fuerza de la gravedad es sustituida por la atracción entre cargas eléctricas.

El modelo atómico de Bohr

Para atacar el problema, Niels decidió simplificarlo lo máximo posible y eligió el hidrógeno como el átomo a estudiar. El hidrógeno es el átomo más simple que existe, consistente en una carga positiva (protón) a la que acompaña un electrón.

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Dr. Manhattan también elige el hidrógeno en Watchmen.

Además de contar con el modelo de Rutherford, Bohr conocía el espectro de emisión que tenía el hidrógeno. Todos los elementos de la tabla periódica tienen un espectro de emisión que los identifica, una especie de huella dactilar. Este espectro se produce cuando los átomos correspondientes se excitan y vuelven a estados con menos energía, liberando en el proceso radiación electromagnética.

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Serie de Balmer del hidrógeno. Posteriormente se descubrió que la serie de Balmer correspondía a los saltos de electrones desde órbitas superiores (n>2) a la órbita número 2 (n=2).

Así que Bohr realizó una serie de suposiciones:

Primer supuesto

Los electrones se movían alrededor del núcleo únicamente en ciertas órbitas estables en las que no se emitía radiación electromagnética. Esto lo razonó con una especie de reducción al absurdo, ya que si el electrón emitía radiación electromagnética al moverse alrededor del núcleo, los resultados experimentales serían muy diferentes a los existentes en la época.

Este primer supuesto para su teoría era una osadía por parte de Bohr, ya que podía considerarse que iba en contra lo establecido por las leyes de Maxwell. También puede considerarse como una forma fácil de evitar el principal problema que tenía Rutherford con su modelo. La cuestión es que Bohr no se quedó en ese punto y siguió su trabajo deductivo.

Segundo supuesto

Las líneas del espectro del hidrógeno se producían cuando un electrón cambiaba a una órbita que requería menos energía. El exceso de energía resultante se liberaba en forma de radiación electromagnética. La energía emitida era proporcional a la constante de Planck y a la frecuencia (hf = E_2 - E_1).

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La serie de Balmer correspondía a “saltos” del electrón del hidrógeno con destino a la órbita 2 (n=2). En la imagen podéis ver la correspondencia entre estos saltos y la serie.

Tercer supuesto

El momento angular del electrón estaba relacionado con la constante de Planck.

Los electrones solo podían encontrarse en ciertas órbitas, caracterizadas por un número (n). Podríamos decir que el átomo de Bohr era como una caja de cambios: el electrón podía estar en el primer orbital (n=1), en el segundo (n=2), cuarto (n=4)… y moverse de un orbital a otro, por ejemplo del cuarto al primero. Lo que no podía hacer un electrón es encontrarse entre dos de estas órbitas. ¿Habéis probado a embragar antes de haber terminado el cambio de marcha? Ese ruido que escucháis es Bohr quejándose de vuestra falta de pericia.

Esta suposición tiene mucha miga: lo que estaba diciendo Bohr es que la energía mecánica del átomo de hidrógeno, las órbitas que podían seguir los átomos, estaban cuantizadas, al igual que la energía que se emitía o absorbía al cambiar de órbita.

Esto lo dedujo a partir de la acción del electrón. Dentro de una órbita tenía que ser un múltiplo de la constante de planck:

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La acción se calcula multiplicando la masa del electrón por la velocidad de este en la órbita n y el espacio recorrido en cada órbita completa, en este caso 2 pi por el radio de la órbita. El valor de la acción debía ser igual a la constante de Planck (h) por un número entero, que correspondía al número de órbita.

De donde se podía deducir que el momento angular de un electrón en una de las órbitas, era asimismo proporcional a la constante de Planck por el número de órbita, llegando a la fórmula reconocida:

Captura de pantalla 2013-07-06 a las 00.54.37

Si 2 pi nos lo llevamos al otro lado de la igualdad, tenemos que el momento angular del electrón es igual n h/(2pi). El valor h/2pi tiene su propio símbolo y se representa con una raya cruzando la parte superior de la h.

Mediante estos tres supuestos y las fórmulas obtenidas, Bohr pudo calcular el radio de las órbitas y obtener la expresión de Balmer (y la más genérica de Rydberg-Ritz) para la serie del hidrógeno. Bohr había unido el átomo de Rutherford y el cuanto de Planck en una sola teoría.

La primera ecuación que se puede ver es la expresión de Rydberg-Ritz, más genérica que la obtenida por Balmer y a la postre más útil para la demostración de Bohr. La segunda ecuación es el valor obtenido por Bohr, en base a la masa del electrón, su carga y la constante de Planck. El valor obtenido teóricamente era muy similar a la constante de Rydberg (R) que era el valor empírico que se manejaba en la época.

La primera ecuación que se puede ver es la expresión de Rydberg-Ritz, más genérica que la obtenida por Balmer y, a la postre, más útil para la demostración de Bohr. La segunda ecuación es el valor obtenido por Bohr, en base a la masa del electrón, su carga y la constante de Planck. El valor obtenido teóricamente era muy similar a la constante de Rydberg (R) que era el valor empírico que se manejaba en la época.

El artículo final tardó un tiempo en llegar. Niels era muy meticuloso y un amante del uso escrupuloso del lenguaje, así que trabajó en su artículo hasta que estuvo seguro de que en él se leían exactamente las ideas que había desarrollado. En el intervalo le dio tiempo a volver a Dinamarca y casarse, completando el artículo en Copenague. Una copia del mismo llegó a Rutherford para su revisión antes de la publicación.

—Rutherford al aparato, ¿con quién tengo el placer de hablar?

—Hola Ernst, soy Neils, ¿has recibido el artículo?

—Hola Neils, lo recibí esta mañana y ya estoy revisándolo, hay ciertos puntos que habría que cambiar.

—Ernst, no hay nada que cambiar, ahora mismo salgo para Manchester y lo discutimos.

Niels cogió el primer barco hacia Inglaterra y se plantó en el despacho de Ernst Rutherford. Discutieron durante horas y finalmente Niels consiguió que Ernst no tocara ni una sola coma del artículo.

Ejem, señores del servicio postal danés. En el modelo de Bohr las órbitas era circulares. Se han colado, como el rey pensando que Niels era su hermano.

Ejem, señores del servicio postal danés. En el modelo de Bohr las órbitas era circulares. Se han colado, como el rey pensando que Niels era su hermano.

¿Es correcto el modelo atómico de Bohr?

No, pero ayudó a iniciar definitivamente el camino de la física cuántica al aplicar el concepto del cuanto de Planck al átomo. A las pocas semanas, Sommerfeld lo amplió incluyendo órbitas elípticas y poco a poco fue siendo ampliado y sustituido. Ahora sabemos que el átomo no es una especie de sistema planetario, que los electrones no son bolitas que giran alrededor del núcleo y que los números cuánticos que determinan el lugar de un electrón en el átomo son cuatro. No obstante, el modelo de Bohr y los cambios que fueron surgiendo sobre él nos han ayudado a mejorar nuestro conocimiento sobre el átomo.

Además, la grandeza de Niels Bohr no está restringida a este modelo atómico; la labor que desarrolló posteriormente en Copenhague le situó como uno de los científicos más importantes de la historia. Pero ese es un camino que recorreremos en otra ocasión.

Este artículo participa en la edición XLIII del Carnaval de Física que aloja el blog el mundo de las ideasen la edición Z=26 del Carnaval de Química que aloja el cuaderno de Calpurnia Tate y en la VI Edición del Carnaval de Humanidades, acogido en el blog Cajón Desastre.

Otros artículos en la serie Descubriendo el átomo

Más información

Artículo presentado por Bohr en julio de 2013.

Cálculo del radio de Bohr.

Thirty years that shook physics. George Gamow. Editorial Dover.

Física para la ciencia y la tecnología, 6ª edición. Tipler – Mosca. Editorial Reverté.

Bohr y la teoría cuántica. Paul Strathern. Siglo XXI de España editores.

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