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Participaciones del zombi en el carnaval de las matemáticas

En el infinito, las cosas no son lo que parecen

Dividir un número entre cero no da como resultado un número infinitamente grande. La razón es que la división se define como una multiplicación a la inversa: si se divide entre cero, y luego se multiplica por cero, debería recuperarse el número con el que se comenzó. Sin embargo, multiplicar infinito por cero da como resultado cero, y ningún otro número. No hay nada que pueda ser multiplicado por cero para dar un resultado que no sea cero; por tanto, el resultado de una división entre cero está literalmente “indefinido”.

Ted Chiang. Dividido entre cero.

Cuando se estudian matemáticas en el bachillerato y en la universidad, el infinito aparece en todo su esplendor. Nos acostumbramos tanto a calcular límites cuando x tiende a infinito y a obtener límites cuyo resultado es “infinito”, que acabamos considerándolo como algo normal.

Sin embargo, el infinito es un concepto peliagudo, que nos puede llevar a paradojas que van contra la propia razón. Georg Cantor dedicó gran parte de su carrera al estudio del infinito y obtuvo resultados que van en contra del sentido común y que le acarrearon más de un enemigo y muchos disgustos personales.

El campo de estudio de George Cantor fue la teoría de conjuntos, y utilizó esta teoría para acercarse al infinito. Por ejemplo, para demostrar que los números enteros pares e impares son conjuntos con el mismo número de elementos, Cantor asignaba a cada número del conjunto de los pares, un número del conjunto de los impares:

pares

Asignación entre los números pares e impares positivos

Si conseguimos que esta asignación sea biunívoca, es decir que a cada elemento de un conjunto le pertenezca un único elemento del otro conjunto y viceversa, habremos demostrado que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Una idea elegante y sencilla, pero veamos a dónde nos lleva esta idea si seguimos avanzando.

¿Qué os parece si ahora comparamos los números enteros con los números racionales? Los números racionales son aquellos formados por una fracción en la que numerador y denominador son números enteros. Por ejemplo, 2/1 es un número racional, que a la vez es 2, un número entero. Sin embargo 1/2 es un número racional, pero no es un número entero, ya que tiene parte decimal. Todos los números enteros pueden expresarse como un número racional, simplemente tenemos que dividirlos entre uno, pero no ocurre a la inversa.

Pero ahora comparemos ambos conjuntos a la manera de Cantor. En esta ocasión, Georg ordenó los números racionales de la siguiente forma:

En primer lugar los números cuyo numerador y denominador suman 2, luego los números cuyo numerador y denominador suman 3, y así sucesivamente, colocando primero las fracciones con un numerador menor:

racionales1

Fracciones para las que la suma de denominador y numerador es 2, 3, 4 y 5.

Ahora que hemos conseguido un orden, nos bastará con ir asociando números enteros positivos a cada número racional positivo:

racionales2

Vamos situando las fracciones según la suma de denominador y numerador y vamos asignando a cada una un número entero.

Y como a cada fracción podemos asociarle un número entero y viceversa, podemos deducir que el conjunto de los números racionales tiene el mismo número de elementos que el de los números enteros.

contando

No me miréis así, a Cantor le criticaron tanto que el hombre acabó un poco deprimido, así que ahora no os paséis conmigo, que soy un simple mensajero y queda lo mejor por contar.

Puntos, puntos y más puntos

Vamos ahora a comparar los números enteros con los números reales. Tomemos una recta cualquiera, como esta:

recta

En esta recta hay infinitos puntos: tenemos el 0, el 1, el 0.5, el 0.5000000001, etc. Un día me preguntaron cómo representaría el concepto de infinito, pinté esta misma recta y solté una charla. Sí, tal como estáis pensando, no tengo muchos amigos.

Vamos a ver si podemos relacionar el conjunto de puntos de esta recta con los números enteros. Lo primero será buscar una forma de ordenar los puntos de la recta para poder asociarle, a cada uno, un número entero.

Veamos, podemos empezar por el cero, luego podemos coger el 0.1 y entonces mmmh… No.  Si ponemos luego el 0.1 nos dejamos por el camino el 0.01, y el 0.001, y el 0.o001 y ¡UFF! ¡Podemos seguir hasta tener infinitos ceros antes de poner un miserable 1! Y bueno, estos ejemplos son números racionales, podríamos usar un truco parecido al anterior, pero es que por medio también habrá números irracionales y cada vez que queramos realizar una ordenación, el listo de turno podrá añadir un nuevo decimal y reírse de nosotros.

tfacepalm

Cuando abrimos el tarro de las esencias de los números reales, nos aparece un número infinito de decimales y en muchas ocasiones sin ningún tipo de periodicidad.

No podemos conseguir una ordenación de los puntos que hay dentro de nuestra recta que nos permita asociar cada uno de ellos a un número entero. Para realizar la demostración, Cantor pensó en un orden cualquiera asociado a los números reales entre 0 y 1, por ejemplo:

ordenacionimposible4

En esta matriz estarían todos los números reales entre cero y uno, con un número entero asociado. Ahora bien, formemos un número de la siguiente forma: del primer número escogemos el primer decimal, le sumamos uno y lo colocamos en el primer decimal de nuestro nuevo número; del segundo número escogemos el segundo decimal, le sumamos uno y lo situamos en el lugar del segundo decimal y así sucesivamente. En nuestro caso tendríamos: 0.309448498…

Pues bien, el número que acabamos de crear, no forma parte de la ordenación anterior. En cualquier lugar que lo coloquemos, el decimal correspondiente a esa posición será incorrecto. Por ejemplo, si lo colocáramos en la posición 9, el noveno decimal es diferente, ya que su valor es el de ese mismo decimal más uno. El número que hemos creado siempre “chocará” en la diagonal independientemente de donde queramos colocarlo. La ordenación que hemos supuesto inicialmente es imposible.

Ante este hecho, Cantor declaró que el infinito del número de puntos que se encuentran en una recta es de un orden superior al infinito del número de elementos de los números enteros.

Pero, ¿y si comparamos nuestra pequeña recta con una más grande?

triángulo

En este simple esquema, podemos ver cómo siempre podremos asignar a cada punto de la recta más grande (roja), uno de la recta más pequeña (azul). Solo hay que colocar las rectas formando un triángulo y lanzar líneas paralelas como las que vemos en el esquema.

¿Y si la segunda recta es infinitamente larga? Para verlo mejor me vais a permitir un truco: doblar la primera recta hasta formar un círculo, y lo  colocamos así en nuestra recta infinita:

lineaycirculo

Bueno, imaginad que la línea roja sigue hacia el infinito por la derecha y por la izquierda, tampoco seamos tiquismiquis.

Ahora ponemos un punto fijo arriba, en la parte del círculo más alejada de la recta, y un punto móvil abajo:

lineacirculointerseccion

Al trazar una recta que atraviesa ambos puntos, tenemos una intersección con la línea roja. Ahora movamos el punto móvil bordeando el semicírculo que queda debajo de la línea roja:

infinitoabajo0

Al mover el punto sobre el semicírculo de abajo, podemos obtener cada uno de los puntos de la recta que quedan dentro del círculo. Solo tenemos que tomar pasos cada vez más pequeños si queremos más precisión. ¿Pero qué pasa cuando movemos el punto por el semicírculo que queda encima de la recta?

infinitoarriba0

Podemos obtener todos los puntos que hay en la recta y que han quedado fuera del círculo jugando con el desplazamiento del punto móvil; a medida que lo hagamos con más precisión, podremos obtener cualquier punto que deseemos. Si queremos obtener los puntos negativos, solo tenemos que recorrer el resto del semicírculo.

Así que el conjunto de puntos de cualquier recta que elijamos tiene la misma cardinalidad, independientemente de su tamaño, incluso si tenemos una recta de un tamaño infinito.

cantorinfinito2

Subiendo de dimensión

¿Y los puntos de un cuadrado? Evidentemente el conjunto de los puntos de un cuadrado tendrá un número infinito de elementos, pero ¿será comparable a una recta?

Habrá que buscar una forma de ordenar los pares de puntos de un cuadrado de forma que cada uno se corresponda con un único punto de la recta. Vamos a escoger un cuadrado de lado 1 y una recta de longitud 1:

cuadradoyrecta

Escogemos un punto del cuadrado y obtenemos sus coordenadas, por ejemplo (0.25, 0.33). Podríamos crear a partir de estas coordenadas el siguiente número: 0.2533, incluyendo primero los decimales de la primera coordenada y luego los de la segunda.

cuadradomal1

Pero ¿y si cogemos el par de puntos (0,2 ,0,533)? Pues no, no funciona, porque el punto de la recta que obtendríamos sería 0.2533, el mismo que habíamos obtenido antes.

cuadradomal2

¿Cómo podemos conseguir una ordenación que nos permita asignar a cada par de puntos del cuadrado un punto de la recta? Piénsalo un poco, intenta dar con la forma correcta para formar el valor asignado a la recta y, cuando quieras ver la solución, ve al final del artículo.

La solución existe y llevó a Cantor a proclamar que el segundo orden de infinito era el formado por el conjunto de puntos de cualquier objeto geométrico, en un número de dimensiones cualquiera. Es decir, el conjunto de los puntos que se encuentra dentro de un cubo de cualquier tamaño tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los puntos que hay dentro de una pequeña recta.

Hay un tercer orden de infinito descubierto por Cantor, pero esa es otra historia que merece ser contada en otra ocasión, ahora os dejo con una última paradoja.

La paradoja final

Si has llegado hasta aquí, te estoy infinitamente agradecido, aunque debo confesarte que en todo lo que he contado hay oculta una paradoja muy curiosa.

Hemos visto cómo a partir de un círculo podemos obtener todos los puntos de la recta real. ¿Todos?, ¿seguro?

A medida que acercamos el punto móvil al fijo, por la derecha o por la izquierda, obtenemos cada vez valores más grandes, prácticamente imposibles de transcribir. ¿Cuándo alcanzaremos el valor infinito exactamente? Lo lógico sería pensar que lo obtendremos cuando los dos puntos se junten, ocupando el mismo espacio.

paradoja

Pero si se trata del mismo punto, ¿cómo podemos trazar la línea recta que servía para conseguir la intersección con la recta real? No, no se puede. Con un solo punto no puede definirse una línea porque, amigos, el infinito es indefinido.

bart

MULTIPLÍCATE POR CERO

Hay una forma de llegar a formar esa línea recta, al prescindir del punto móvil y usar “otra cosa”, pero también llegaríamos a una paradoja. ¿Te animas a intentarlo?

La solución al cuadrado

Para obtener un solución al problema del cuadrado hay que utilizar un truco muy ingenioso:

Tenemos 0.25 y 0.5. Pues bien, lo que haremos será ir escogiendo en cada ocasión un decimal de cada uno de los puntos. Primero cogeremos el 2 de 0.25, luego el 5 de 0.53, a continuación el 5 de 0.25 y así sucesivamente. De esta forma tendremos:

coordenadas1

Cuando una de las coordenadas no tiene el mismo número de cifras significativas que la otra, utilizaremos el cero. Por ejemplo (0.200, 0.553)

Mediante este sistema, podemos situar cada par de puntos del cuadrado en un único punto de la recta. Además, si nos fuéramos a un número mayor de dimensiones, solo tendríamos que ir repitiendo el proceso para más coordenadas, por ejemplo:

coordenadas2

En definitiva, Cantor era un genio.

Este artículo participa en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas. El carnaval tiene lugar en el blog Cifras y teclas, un lugar que no os podéis perder.

Y este artículo fue el más votado en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas y en consecuencia, puedo lucir este bonito entorchado:

Premio-CarnaMat56

Más información

One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science (Dover Books on Mathematics). George Gamow.

Georg Cantor en Wikipedia en español, Wikipedia en inglés (más completo).

La historia de tu vida. Recopilatorio de relatos de ciencia ficción en el que aparece división por cero.

@SamuelDalva este artículo le ha recordado la paradoja de la rueda de Aristóteles.

@Gaussianos nos ha recordado un artículo sobre la diagonalización de Cantor.

Por último, tengo que agradecer a mi profesor de Métodos Matemáticos I en la UNED, Juan Perán, por descubrirme esta historia en una de sus magníficas clases.

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Viaje locuelo a otras dimensiones con Monte Carlo

Hace tiempo publiqué una entrada sobre la historia de los métodos Monte Carlo, entrada que tuvo su réplica en El escriba matemático, explicando la pequeña locura que fue mezclar Python y Geogebra 5 en fase beta. De estos dos posts surgió esta animación de cálculo del número PI:

Cálculo de PI mediante el método Monte-Carlo

 

Pero ¿se puede afinar más en la búsqueda del número PI por este método? La respuesta es un SÍ rotundo. Una característica importante a la hora de ejecutar un método Monte Carlo es realizar una buena elección del generador de números aleatorios, cosa que no hice.

El cálculo de PI es un ejemplo de integración mediante método Monte Carlo: calculamos el área del sector del círculo y, gracias a la relación entre el área de ese sector y del cuadrado que lo contiene, obtenemos la aproximación de PI.

El área del cuadrado será

A_{cuadrado} = r^2

y el área del sector será

A_{sector} = 1/4 \pi r^2

Si dividimos el área del sector por el área del cuadrado, tendremos:

\frac{A_{sector}}{A_{cuadrado}} = \frac{\pi r^2}{4 r^2} = \pi/4

Si realizamos la división del número total de puntos que tenemos dentro del círculo respecto al número total de puntos que se han señalado en toda la área del cuadrado, tendremos una aproximación del valor de π

\frac{puntos dentro circulo}{puntos totales} \approx \pi/4

En este tipo de problemas, un buen generador de números aleatorios será aquel que consiga cubrir el espacio estudiado lo más homogéneamente posible. De esta forma, habrá más probabilidad de que la razón entre el total de puntos lanzados y los puntos dentro de nuestro objeto sea similar a la razón real entre el volumen de nuestro campo de pruebas y el objeto circunscrito que deseamos medir.

Investigando el tema, descubrí un generador de números pseudoaleatorios llamado secuencia de Sobol (más información aquí) y que distribuye puntos de una forma muy homogénea a lo largo de las dimensiones que elijamos. A continuación, un ejemplo de una distribución de puntos obtenida uniformemente y otra obtenida mediante una secuencia Sobol:

Comparativa de la generación de números aleatorios mediante el generador uniforme de python y la secuencia Sobol

Comparativa de la generación de 1000 puntos aleatorios mediante el generador uniforme de python y la secuencia Sobol

Lo siguiente fue comprobar si realmente se notaba la diferencia al realizar el cálculo de PI usando un método u otro. Aquí tenéis la comparación del cálculo de PI con un generador uniforme de números aleatorios y con un generador de secuencias Sobol:

Cálculo de pi mediante distintos tipos de generadores de números aleatorios.
Cálculo de pi mediante distintos tipos de generadores de números aleatorios. En el eje y tenemos el valor de pi y en el eje x el número de puntos utilizados en el cálculo.

El cálculo se realizó para distintos números de puntos lanzados, hasta un máximo de 100.000 puntos. Se puede ver con claridad la mejora que produce el uso de una secuencia Sobol (azul) respecto a un generador de números aleatorios uniforme. La convergencia hacia el valor de PI es muy evidente cuando usamos secuencias Sobol. Para ver el código fuente usado puedes ir a la parte final.

¿Por qué conformarnos solo con dos dimensiones?

Poco después descubrí un enlace a un artículo, ya con solera, de Gaussianos:

¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N?

Grosso modo lo que nos cuenta es el particular comportamiento del volumen de una esfera de radio 1 a medida que aumentamos el número de dimensiones. Podemos ver cómo en principio el volumen aumenta con el número de dimensiones para luego decrecer, tendiendo hacia cero a medida que aumentamos n. La fórmula para el volumen de una n-esfera de radio 1 es:

V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma \left ( \frac{n}{2}+1 \right )}

La explicación es bastante lógica; para que un punto del espacio de n-dimensiones se encuentre dentro de la n-esfera de radio 1 correspondiente, debe cumplir que su distancia al origen sea menor o igual a 1, y a medida que aumentamos las dimensiones llega un momento en el que es muy difícil encontrar puntos que cumplan esta condición, ya que para cada dimensión tenemos que sumar el cuadrado de un nuevo término.

La fórmula para saber si un punto está dentro de una n-esfera es:

\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq 1

La rabia del asunto es que es imposible visualizar una n-esfera de más de tres dimensiones dentro de un cubo, a su vez, de n-dimensiones. Quizás sea imposible imaginarlo, pero una computadora sí que puede ayudarnos a hacer algo similar: podemos calcular aproximadamente el volumen de una n-esfera de la misma forma que hicimos antes con el área de un círculo. Así que toca lanzar n-puntos a cascoporro para meter el dedo en la yaga y ver si todo esto es cierto.

Para cada dimensión, el cálculo del volumen de la n-esfera de radio 1 será el siguiente:

V_n = V_{n cubo} \frac{puntos\ dentro\ n-esfera}{puntos\ totales}

Siendo el volumen del n_cubo: V_{n cubo} = 2^n ya que cada arista del cubo tendrá longitud 2: [-1,1].

El código para realizar el cálculo sería el siguiente:

#Calculo del volumen de una n-esfera. Como parametro recibe el numero de dimensiones y de puntos a generar, como salida devuelve el volumen
def calc_n_sphere_sobol(n_dimensions, n_points):
    #numero de puntos dentro de la n-esfera
    hits = 0
    #inicializador de la secuencia sobol
    sout = random.randint(1,10000)

    for i in range(0, n_points):
        #generar punto n-dimensional
        p, sout = sobol_lib.i4_sobol ( n_dimensions, sout )

        #transforma el numero del intervalo [0,1] al intervalo [-1,1]
        p = (p*2)-1
        j = 0
        s = 0

        #sumar cuadrado de las componentes
        while (j<n_dimensions and s<=1):
            s+=p[j]**2
            j+=1
        #comprobar si el punto esta contenido en la n-esfera
        if (s<=1):
            hits += 1
    #devolver volumen de la n-esfera
    return  (2**n_dimensions)* float(hits) / n_points

Y los resultados comparados con el volumen dado por la fórmula:

Cálculo del espacio ocupado por una n-esfera de radio 1 para distintas dimensiones

Cálculo del espacio ocupado por una n-esfera de radio 1 para distintas dimensiones. En el eje y tenemos el volumen y en el eje x las dimensiones.

Voi-lá, podemos ver cómo el método Monte Carlo se acerca a la función que describe el volumen de la n-esfera. Aquí están los datos obtenidos para 1.000.000 de puntos lanzados para las distintas dimensiones:

dimensiones volumen n-cubo volumen n-esfera Monte Carlo Puntos dentro
1 2 2,000000 2,000000 1000000
2 4 3,141593 3,141700 785425
3 8 4,188790 4,188096 523512
4 16 4,934802 4,936320 308520
5 32 5,263789 5,263712 164491
6 64 5,167713 5,174656 80854
7 128 4,724766 4,734080 36985
8 256 4,058712 4,066048 15883
9 512 3,298509 3,289088 6424
10 1024 2,550164 2,516992 2458
11 2048 1,884104 1,837056 897
12 4096 1,335263 1,314816 321
13 8192 0,910629 0,950272 116

El número de puntos que cumplen las condiciones de la n-esfera disminuye con el número de dimensiones, pero a la vez aumenta el volumen del n-cubo en el que está circunscrita. La relación máxima entre los puntos “acertados” y los lanzados respecto al volumen del n-cubo se da cuando llegamos a cinco dimensiones, y a partir de ahí el volumen de la n-esfera empezará a converger hacia cero.

Otra consideración a tener en cuenta es que cada vez que aumentamos una dimensión, el volumen del n-cubo aumenta. Como consecuencia, la muestra de 1.000.000 de puntos es menos significativa, por lo que los resultados empeoran si no aumentamos el número de puntos aleatorios utilizados.

∞∞∞

Este artículo se publicó originalmente el 12 de diciembre de 2012 en El escriba matemático, un blog donde incluyo artículos más técnicos y relacionados con la programación y herramientas matemáticas. Le tengo especial cariño a esta historia porque fue mi primera participación en un carnaval de matemáticas y tuvo su premio.

Este artículo participó en la 3.141592653 Edición del Carnaval de Matemáticas que alojó Que no te aburran las M@tes y ganó el premio al mejor artículo, porque los informáticos que estudiamos física a veces les caemos bien a los matemáticos 😛

Precioso, ¿verdad?

Referencias y enlaces de interés

La historia del método Monte Carlo: con ordenadores prehistóricos, bombas nucleares y personajes ilustres como Fermi, Ulam y Von Neumann.

Código fuente usado para realizar las pruebas

¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? en Gaussianos

Secuencias Sobol en Wikipedia

Implementación de Sobol en Python

We are in it only for the ego

Vamos a ser sinceros. Hacer divulgación está muy bien, es muy divertido, te instala cómodamente en el nivel superior de la pirámide de Maslow: la autorrealización. Sin embargo, lo que realmente nos mantiene en la brecha es el vil y maldito ego.

maslowplus

Una vez llegas a la autorrealización (la nievecica en lo alto de la montaña), te das cuenta de que encima tienes la pesada losa del ego en frágil equilibrio.

Sí, podemos estar todo lo autorrealizados y contentos que queramos con nuestro trabajo, pero si no hay un resultado en forma de gente diciéndote: “cómo me gusta lo que haces” nos convertimos en una persona triste e insegura, más insegura todavía:

bender

Horas haciendo esa $%&@ animación y no ha llegado ni a 100 visitas. Me voy a dedicar a publicar fotos de gatos.

Y es que según Herzberg, hay dos tipos de factores a tener en cuenta en la relación con un equipo de trabajo. Voy a tomarlos prestados y retorcerlos para el caso del divulgador amateur:

IMG_20131017_191357

Realmente Herzberg pone entre los factores higiénicos el dinero, la comodidad y la seguridad y en los motivantes los logros, responsabilidad, palmadita en la espalda (es un plagio de Maslow, la verdad). PD: eso no son 7 SPAM, es algebra de bool y quiere decir “no Spam” ;P.

Los factores higiénicos hay que mantenerlos en un nivel aceptable para no convertirte en un zombi triste, pero si quieres conseguir ser un zombi feliz, son los factores motivadores los que lo conseguirán (las visitas no dan la felicidad).

Vaya rollo nos has soltado zombi. Pues sí, pero este rollo sirve para decir que esta semana me siento así:

jake_feel_like_a_sir_by_fuutachimaru-d5ayswq

Porque me han otorgado estas dos cucadas gracias a dos artículos del mes de septiembre:

Septembre2'13

Premio Carnaval Matematicas Septiembre2013

El carnaval de física además tiene alegría doble porque he empatado con el cuaderno de Calpurnia Tate. Y el de matemáticas es un final feliz para la historia de mi dragoncillo. Así que por hoy me retiro en la cima de mi pirámide remozada de Maslow, no sin antes daros las gracias a todos los que me leéis, a todos los que habéis votado y a todos los que ayudáis, en general, a mantener el frágil equilibrio de mi voraz ego y por tanto, mantenerme en la brecha.

SÍ, soy tan cutre que he pegado el dibujo hecho en una hoja de otra libreta.

SÍ, soy tan cutre que he pegado el dibujo hecho en una hoja de otra libreta.

PD: Esta entrada es de auténtica coña ¿o no?

PD2: We are in it only for the money es un disco de los inicios de Frank Zappa, cuando se juntaba con las mothers of invention, que en realidad eran hombres con mostacho y largas barbas.

Más información

Resumen final edición XLIV del carnaval de física en ZtfNews

Resumen final de la edición 4.123105 del carnaval de matemáticas en cifras y teclas

Premio #CarnamatSeptiembre en el blog del Tito del carnaval: el Tito Eliatrón.

Y las ediciones de los carnavales actuales:

Edición XLV del carnaval de física en Cuantos y Cuerdas

Edición 4.1231056 del carnaval de matemáticas en Scientia.

El dragón diferencial

posada

Posada de los dos caminos

El posadero lo había llamado estofado, pero su verdadero nombre debería ser sopa de grasa con tropezón de carne sospechosa. Para mejorar todavía más la cena, seguía molestándole con esa horrible voz nasal:

—Así que decís que habéis venido para matar al dragón —dijo mientras se aguantaba la risa.

Runge levantó la mirada y contestó entre dientes:

—No, he dicho vencer al dragón. —Su intento de parecer duro quedó arruinado al ser incapaz de partir el trozo de pan que acompañaba al estofado. Si pudiera hacerse una armadura con ese pan, el dragón no tendría ninguna posibilidad contra él. El posadero seguía con su espectáculo para alegría de la parroquia.

—Un alfeñique como vos no serviría ni para rellenar el hueco de una muela de ese horrible monstruo. ¿Conocéis al caballero Bernoulli? —Runge palideció, no podía ser, ¿se le había adelantado otra vez ese presuntuoso? La familia Bernoulli siempre se cruzaba en su camino.

El posadero se cansó de esperar la respuesta de su cliente y siguió con su monólogo.

—El dragón lo partió por la mitad con un golpe de su cola antes de que pudiera sacar su espada. Luego chupó las dos mitades como si fueran la cabeza de una gamba.

Un escalofrío mezcla de pavor y de placer recorrió la espina dorsal de Runge. Para evitar que los clientes vieran su irónica sonrisa, contestó con un simple gruñido mientras seguía centrado en su plato. El dueño de la posada tenía carrete para rato, así que siguió poniéndole al día.

—Por vuestro aspecto no sois un guerrero como Bernoulli ¿no seréis uno de esos magos? El gran Frobenius vino aquí jactándose de sus poderes y aseguró que, sin despeinarse, mataría al dragón con una serie de sus potentes conjuros.  Antes de que hiciera su primer pase mágico, el dragón le había atravesado el pecho con una de sus garras.

—No me gusta la magia. Pero empieza a caerme bien ese dragón.

—¿Entonces cómo demonios queréis matarlo?

Runge miró hacia arriba con gesto de desesperación, pidiendo paciencia a los dioses.

—He dicho que venceré al dragón, no que vaya a matarlo. Solo necesito mi ingenio y encontrar las condiciones ideales.

dragonLiso

La verdad sobre la física

Voy a contaros un secreto. Cuando se empieza a estudiar física, todo es como un mundo ideal: las balas de cañón viajan por el vacío y no las frena el aire, las cargas eléctricas están muy quietas en su sitio y los péndulos solo realizan pequeñas oscilaciones. Pero ese mundo ideal se acaba pronto y esas fórmulas tan sencillas de aprender empiezan a escasear. Los sistemas van complicándose y aparecen las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es aquella en la que su valor depende de la tasa de cambio de una de sus variables, o dicho de otra forma, es una ecuación en la que aparecen términos en forma de derivada. En el caso del muelle, la amortiguación es un factor que depende de la propia velocidad del sistema.

m\frac{d^2x}{dt^2} = -k x - b\frac{dx}{dt}

Ecuación de la segunda ley de Newton que describe el comportamiento de un muelle amortiguado.

También hay un mundo ideal de las ecuaciones diferenciales. Durante un tiempo el profesor te lanza legiones de ecuaciones diferenciales. Unas pueden ser destruidas con la ayuda de la función exponencial, otras pensando en campos conservativos o en los truquitos que genios como Bernoulli, Frobenius o Laplace nos han regalado. Pero llega un día en el que ante ti se presenta la ECUACIÓN; hasta ese día has luchado con pequeñas bestias diferenciales, pero ahora tienes en frente al DRAGÓN DIFERENCIAL.

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La prueba de Euler

paisaje

—¿Y qué crees que pensarán los habitantes de este planeta cuando te vean con esas pintas? ¿Y dónde vas con esa toalla? ¿A la playa?

—Si leyeras más la maldita guía, sabrías que es importante tener siempre a mano una toalla cuando viajas a otros planetas, pero tú siempre estás con ese manualucho tuyo de exploradores. Además, ¡¿cómo te puedes meter conmigo llevando ese ridículo sombrero?!

—Se llama salacot y es muy útil para este tipo de climas.

—¿Sabes lo que es útil para este tipo de climas? Mi toalla —Carl se limpió el sudor con su toalla mientras miraba desafiante a Thelonious.

Los guerreros de la tribu seguían observando a los extraños visitantes que se gritaban entre sí. La piel oscura de los dos alienígenas les intrigaba y el jefe de la tribu, que se había cansado ya de observarlos, se decidió a actuar, carraspeando sonoramente.

—Oh, vaya, tenemos visita —dijo el hombre que llevaba un sombrero ridículo—. SALUDOS CORDIALES, SOMOS LA EXPEDICIÓN DE BÚSQUEDA Y PRESERVACIÓN DE CULTURAS Z20-10345.

Su compañero lo miró con gesto desaprobador: —Cuántas veces te he dicho que por gritarles y hablar despacio no se van a enterar.

—Pues parece que me han entendido —replicó Thelonious.

—Evidentemente, debido al pez de Babel que te coloqué antes de llegar.

—¿Que me has metido ese pez húmedo asqueroso en la oreja?

—¿Nunca te han dicho que tienes un sueño muy pesado?

El jefe de la tribu volvió a carraspear, esta vez más fuerte. El visitante que llevaba flores dibujadas en la ropa se adelantó y esta vez, por fin, entendieron algo.

—Buenos días, venimos en son de paz en una misión de reconocimiento. Han sido elegidos para decidir el destino de su planeta; si consiguen pasar una prueba de inteligencia, podremos marcar el planeta para que no sea destruido por la flota vogona para la creación de la autopista interestelar DA-42. Mi nombre es Carl y el del sombrero ridículo se llama Thelonious.

Carl abrió la guía. “No se asuste”, el mensaje inicial, siempre estaba allí para recordar a los viajeros que no había que entrar en pánico ante la enormidad de sus contenidos. Rápidamente hizo una búsqueda sobre la función exponencial y encontró el ejemplo que necesitaba.

Los aborígenes se acercaron cuando Carl les hizo una señal mostrándoles la pantalla.

—La función exponencial se puede aproximar mediante la suma de términos

f1

Aquí podéis ver cómo la suma va aproximando la función exponencial:

sucesión

Aproximación mediante los 7 primeros términos. Puede verse como, paso a paso, se va acercando a la función exponencial. (Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Si siguiéramos sumando términos, iríamos aproximando mejor la parte izquierda de la función, pero podéis ver cómo la parte derecha prácticamente es calcada con llegar a cinco términos.

sucesión50

50 términos de la sucesión calculados. Podemos ver cómo al aumentar el número de términos se consigue aproximar mejor la parte izquierda de la función.

Además, esta suma tiene una característica importante si la derivamos o la integramos

f2 f3

Bastaría con manipularlas un poco para volver a obtener la suma inicial:

f4

f5

En este caso bastaría con seleccionar la constante C como 1 para tener de nuevo f(x). En ambos casos se ha hecho un corrimiento del índice n, denominándolo k, para que el exponente y el factorial tengan un valor igual al de f(x).

El jefe de la tribu estaba enfadado, no era precisamente el más listo entre su pueblo, simplemente era el que golpeaba más fuerte con una piedra en la cabeza de sus rivales; por eso mismo los miembros de la tribu se abstenían siempre de mostrar su mayor inteligencia en su presencia.

Thelonious empezó a aplaudir.

–Factoriales, potencias, sumatorias, el concepto de cero y de infinito y finalmente te has gustado integrando y derivando. Te has cubierto de gloria, Carl, mira qué cara ponen, no se han enterado de nada. Seguramente no tendrán ni nociones básicas de matemáticas—.Le arrebató la guía a Carl y se acercó al jefe de la tribu.—Fíjense, ésta es la función exponencial y tiene unas propiedades bastante interesantes que hacen que sea muy útil. Para empezar tiene como peculiaridad que, cuando calculamos el área que hay entre la función y esta línea que es el eje, el valor que obtenemos es igual a la diferencia de los valores de la función en los dos extremos que hemos tomado. Fíjense, para medir el espacio he usado unos rectángulos, que cubren la zona, el problema es que miden el área con un error importante; si aumentamos el número de rectángulos… Voi-lá! Acabamos consiguiendo el mismo valor para esta área que para la resta de los valores de la función.

sumainferior_superior

Cuando calculamos la integral entre dos puntos, lo que estamos haciendo es obtener el valor del área que queda por debajo (o encima) de la función hasta llegar al eje x. En el caso de la función exponencial ese área es igual a la diferencia de valores de la propia función entre los puntos elegidos.
En el ejemplo se puede ver como para calcular el área se divide el espacio en intervalos para los que se dibuja un rectángulo, en la suma inferior se elige el valor inferior del intervalo como tope, y en la suma superior el valor más alto del intervalo. A medida que aumentamos el número de rectángulos nos acercaremos al valor real del área a calcular, al reducirse los errores por defecto y por exceso.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

—La otra propiedad interesante que tiene esta función es que en cualquier punto que tomemos su pendiente es igual al valor de la propia función. Pueden ver que, a medida que nos acercamos al punto, la pendiente se iguala con el valor de la función.

pendientesf

La derivada de una función es la pendiente de esta en cada punto. En el caso de la exponencial, la derivada es la propia función, lo que quiere decir que su valor y su pendiente en un punto coinciden.
En este ejemplo se puede ver como al calcular la pendiente entre dos puntos por arriba y por debajo del valor e^1, podemos ir acercándonos al valor de la función a medida que tomamos puntos más cercanos. La línea verde sería la pendiente que estamos calculando por debajo, la roja la que calculamos por arriba y la morada es el valor teórico de la pendiente. Puede verse como las tres líneas convergen a medida que acercamos los puntos por arriba y por abajo.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Thelonious estaba demasiado enfrascado en sus demostraciones para darse cuenta de la piedra que el jefe de la tribu tenía en la mano . El salacot no resultó de mucha utilidad ante la pericia del guerrero para golpearle la cabeza. No se llegaba a jefe sin haber desarrollado una técnica depurada y eficiente.

oOo

Las últimas brasas se apagaban, y los niños de la tribu se peleaban por los últimos trozos de carne de lo que una vez fue Thelonius. El jefe de la tribu se limpió la boca con la toalla de Carl, y la dobló para usarla de almohada; por fin podría dormir con el estómago lleno, aunque fuera la última noche del planeta Tertulius.

Esta entrada participa en la edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Geometría dinámica.

Y esta entrada es en gran parte un homenaje a Douglas Adams y su guía del autoestopista galáctico. Los que conozcáis la guía espero que lo hayáis disfrutado y los que no, ¿a qué esperáis?

Recursos

Aquí tenéis las fuentes que he creado en Geogebra para ilustrar el post:

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