Archivo de la categoría: Carnavales

En el infinito, las cosas no son lo que parecen

Dividir un número entre cero no da como resultado un número infinitamente grande. La razón es que la división se define como una multiplicación a la inversa: si se divide entre cero, y luego se multiplica por cero, debería recuperarse el número con el que se comenzó. Sin embargo, multiplicar infinito por cero da como resultado cero, y ningún otro número. No hay nada que pueda ser multiplicado por cero para dar un resultado que no sea cero; por tanto, el resultado de una división entre cero está literalmente “indefinido”.

Ted Chiang. Dividido entre cero.

Cuando se estudian matemáticas en el bachillerato y en la universidad, el infinito aparece en todo su esplendor. Nos acostumbramos tanto a calcular límites cuando x tiende a infinito y a obtener límites cuyo resultado es “infinito”, que acabamos considerándolo como algo normal.

Sin embargo, el infinito es un concepto peliagudo, que nos puede llevar a paradojas que van contra la propia razón. Georg Cantor dedicó gran parte de su carrera al estudio del infinito y obtuvo resultados que van en contra del sentido común y que le acarrearon más de un enemigo y muchos disgustos personales.

El campo de estudio de George Cantor fue la teoría de conjuntos, y utilizó esta teoría para acercarse al infinito. Por ejemplo, para demostrar que los números enteros pares e impares son conjuntos con el mismo número de elementos, Cantor asignaba a cada número del conjunto de los pares, un número del conjunto de los impares:

pares

Asignación entre los números pares e impares positivos

Si conseguimos que esta asignación sea biunívoca, es decir que a cada elemento de un conjunto le pertenezca un único elemento del otro conjunto y viceversa, habremos demostrado que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Una idea elegante y sencilla, pero veamos a dónde nos lleva esta idea si seguimos avanzando.

¿Qué os parece si ahora comparamos los números enteros con los números racionales? Los números racionales son aquellos formados por una fracción en la que numerador y denominador son números enteros. Por ejemplo, 2/1 es un número racional, que a la vez es 2, un número entero. Sin embargo 1/2 es un número racional, pero no es un número entero, ya que tiene parte decimal. Todos los números enteros pueden expresarse como un número racional, simplemente tenemos que dividirlos entre uno, pero no ocurre a la inversa.

Pero ahora comparemos ambos conjuntos a la manera de Cantor. En esta ocasión, Georg ordenó los números racionales de la siguiente forma:

En primer lugar los números cuyo numerador y denominador suman 2, luego los números cuyo numerador y denominador suman 3, y así sucesivamente, colocando primero las fracciones con un numerador menor:

racionales1

Fracciones para las que la suma de denominador y numerador es 2, 3, 4 y 5.

Ahora que hemos conseguido un orden, nos bastará con ir asociando números enteros positivos a cada número racional positivo:

racionales2

Vamos situando las fracciones según la suma de denominador y numerador y vamos asignando a cada una un número entero.

Y como a cada fracción podemos asociarle un número entero y viceversa, podemos deducir que el conjunto de los números racionales tiene el mismo número de elementos que el de los números enteros.

contando

No me miréis así, a Cantor le criticaron tanto que el hombre acabó un poco deprimido, así que ahora no os paséis conmigo, que soy un simple mensajero y queda lo mejor por contar.

Puntos, puntos y más puntos

Vamos ahora a comparar los números enteros con los números reales. Tomemos una recta cualquiera, como esta:

recta

En esta recta hay infinitos puntos: tenemos el 0, el 1, el 0.5, el 0.5000000001, etc. Un día me preguntaron cómo representaría el concepto de infinito, pinté esta misma recta y solté una charla. Sí, tal como estáis pensando, no tengo muchos amigos.

Vamos a ver si podemos relacionar el conjunto de puntos de esta recta con los números enteros. Lo primero será buscar una forma de ordenar los puntos de la recta para poder asociarle, a cada uno, un número entero.

Veamos, podemos empezar por el cero, luego podemos coger el 0.1 y entonces mmmh… No.  Si ponemos luego el 0.1 nos dejamos por el camino el 0.01, y el 0.001, y el 0.o001 y ¡UFF! ¡Podemos seguir hasta tener infinitos ceros antes de poner un miserable 1! Y bueno, estos ejemplos son números racionales, podríamos usar un truco parecido al anterior, pero es que por medio también habrá números irracionales y cada vez que queramos realizar una ordenación, el listo de turno podrá añadir un nuevo decimal y reírse de nosotros.

tfacepalm

Cuando abrimos el tarro de las esencias de los números reales, nos aparece un número infinito de decimales y en muchas ocasiones sin ningún tipo de periodicidad.

No podemos conseguir una ordenación de los puntos que hay dentro de nuestra recta que nos permita asociar cada uno de ellos a un número entero. Para realizar la demostración, Cantor pensó en un orden cualquiera asociado a los números reales entre 0 y 1, por ejemplo:

ordenacionimposible4

En esta matriz estarían todos los números reales entre cero y uno, con un número entero asociado. Ahora bien, formemos un número de la siguiente forma: del primer número escogemos el primer decimal, le sumamos uno y lo colocamos en el primer decimal de nuestro nuevo número; del segundo número escogemos el segundo decimal, le sumamos uno y lo situamos en el lugar del segundo decimal y así sucesivamente. En nuestro caso tendríamos: 0.309448498…

Pues bien, el número que acabamos de crear, no forma parte de la ordenación anterior. En cualquier lugar que lo coloquemos, el decimal correspondiente a esa posición será incorrecto. Por ejemplo, si lo colocáramos en la posición 9, el noveno decimal es diferente, ya que su valor es el de ese mismo decimal más uno. El número que hemos creado siempre “chocará” en la diagonal independientemente de donde queramos colocarlo. La ordenación que hemos supuesto inicialmente es imposible.

Ante este hecho, Cantor declaró que el infinito del número de puntos que se encuentran en una recta es de un orden superior al infinito del número de elementos de los números enteros.

Pero, ¿y si comparamos nuestra pequeña recta con una más grande?

triángulo

En este simple esquema, podemos ver cómo siempre podremos asignar a cada punto de la recta más grande (roja), uno de la recta más pequeña (azul). Solo hay que colocar las rectas formando un triángulo y lanzar líneas paralelas como las que vemos en el esquema.

¿Y si la segunda recta es infinitamente larga? Para verlo mejor me vais a permitir un truco: doblar la primera recta hasta formar un círculo, y lo  colocamos así en nuestra recta infinita:

lineaycirculo

Bueno, imaginad que la línea roja sigue hacia el infinito por la derecha y por la izquierda, tampoco seamos tiquismiquis.

Ahora ponemos un punto fijo arriba, en la parte del círculo más alejada de la recta, y un punto móvil abajo:

lineacirculointerseccion

Al trazar una recta que atraviesa ambos puntos, tenemos una intersección con la línea roja. Ahora movamos el punto móvil bordeando el semicírculo que queda debajo de la línea roja:

infinitoabajo0

Al mover el punto sobre el semicírculo de abajo, podemos obtener cada uno de los puntos de la recta que quedan dentro del círculo. Solo tenemos que tomar pasos cada vez más pequeños si queremos más precisión. ¿Pero qué pasa cuando movemos el punto por el semicírculo que queda encima de la recta?

infinitoarriba0

Podemos obtener todos los puntos que hay en la recta y que han quedado fuera del círculo jugando con el desplazamiento del punto móvil; a medida que lo hagamos con más precisión, podremos obtener cualquier punto que deseemos. Si queremos obtener los puntos negativos, solo tenemos que recorrer el resto del semicírculo.

Así que el conjunto de puntos de cualquier recta que elijamos tiene la misma cardinalidad, independientemente de su tamaño, incluso si tenemos una recta de un tamaño infinito.

cantorinfinito2

Subiendo de dimensión

¿Y los puntos de un cuadrado? Evidentemente el conjunto de los puntos de un cuadrado tendrá un número infinito de elementos, pero ¿será comparable a una recta?

Habrá que buscar una forma de ordenar los pares de puntos de un cuadrado de forma que cada uno se corresponda con un único punto de la recta. Vamos a escoger un cuadrado de lado 1 y una recta de longitud 1:

cuadradoyrecta

Escogemos un punto del cuadrado y obtenemos sus coordenadas, por ejemplo (0.25, 0.33). Podríamos crear a partir de estas coordenadas el siguiente número: 0.2533, incluyendo primero los decimales de la primera coordenada y luego los de la segunda.

cuadradomal1

Pero ¿y si cogemos el par de puntos (0,2 ,0,533)? Pues no, no funciona, porque el punto de la recta que obtendríamos sería 0.2533, el mismo que habíamos obtenido antes.

cuadradomal2

¿Cómo podemos conseguir una ordenación que nos permita asignar a cada par de puntos del cuadrado un punto de la recta? Piénsalo un poco, intenta dar con la forma correcta para formar el valor asignado a la recta y, cuando quieras ver la solución, ve al final del artículo.

La solución existe y llevó a Cantor a proclamar que el segundo orden de infinito era el formado por el conjunto de puntos de cualquier objeto geométrico, en un número de dimensiones cualquiera. Es decir, el conjunto de los puntos que se encuentra dentro de un cubo de cualquier tamaño tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los puntos que hay dentro de una pequeña recta.

Hay un tercer orden de infinito descubierto por Cantor, pero esa es otra historia que merece ser contada en otra ocasión, ahora os dejo con una última paradoja.

La paradoja final

Si has llegado hasta aquí, te estoy infinitamente agradecido, aunque debo confesarte que en todo lo que he contado hay oculta una paradoja muy curiosa.

Hemos visto cómo a partir de un círculo podemos obtener todos los puntos de la recta real. ¿Todos?, ¿seguro?

A medida que acercamos el punto móvil al fijo, por la derecha o por la izquierda, obtenemos cada vez valores más grandes, prácticamente imposibles de transcribir. ¿Cuándo alcanzaremos el valor infinito exactamente? Lo lógico sería pensar que lo obtendremos cuando los dos puntos se junten, ocupando el mismo espacio.

paradoja

Pero si se trata del mismo punto, ¿cómo podemos trazar la línea recta que servía para conseguir la intersección con la recta real? No, no se puede. Con un solo punto no puede definirse una línea porque, amigos, el infinito es indefinido.

bart

MULTIPLÍCATE POR CERO

Hay una forma de llegar a formar esa línea recta, al prescindir del punto móvil y usar “otra cosa”, pero también llegaríamos a una paradoja. ¿Te animas a intentarlo?

La solución al cuadrado

Para obtener un solución al problema del cuadrado hay que utilizar un truco muy ingenioso:

Tenemos 0.25 y 0.5. Pues bien, lo que haremos será ir escogiendo en cada ocasión un decimal de cada uno de los puntos. Primero cogeremos el 2 de 0.25, luego el 5 de 0.53, a continuación el 5 de 0.25 y así sucesivamente. De esta forma tendremos:

coordenadas1

Cuando una de las coordenadas no tiene el mismo número de cifras significativas que la otra, utilizaremos el cero. Por ejemplo (0.200, 0.553)

Mediante este sistema, podemos situar cada par de puntos del cuadrado en un único punto de la recta. Además, si nos fuéramos a un número mayor de dimensiones, solo tendríamos que ir repitiendo el proceso para más coordenadas, por ejemplo:

coordenadas2

En definitiva, Cantor era un genio.

Este artículo participa en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas. El carnaval tiene lugar en el blog Cifras y teclas, un lugar que no os podéis perder.

Y este artículo fue el más votado en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas y en consecuencia, puedo lucir este bonito entorchado:

Premio-CarnaMat56

Más información

One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science (Dover Books on Mathematics). George Gamow.

Georg Cantor en Wikipedia en español, Wikipedia en inglés (más completo).

La historia de tu vida. Recopilatorio de relatos de ciencia ficción en el que aparece división por cero.

@SamuelDalva este artículo le ha recordado la paradoja de la rueda de Aristóteles.

@Gaussianos nos ha recordado un artículo sobre la diagonalización de Cantor.

Por último, tengo que agradecer a mi profesor de Métodos Matemáticos I en la UNED, Juan Perán, por descubrirme esta historia en una de sus magníficas clases.

Carnaval de la física #49: el mejor artículo

El precioso logo del carnaval que preparó con mucho amor mi media manzana-de-Newton

El día 15 se cerraron las votaciones para el mejor artículo de la edición 49 del Carnaval de la Física, así que hoy toca entregar el premio. La votación has sido muy reñida y no se ha decidido hasta la llegada del último voto.

Vamos con los que habéis elegido como los mejores artículos del Carnaval. En el quinto puesto y empatados a 9 puntos tenemos:

En el tercer puesto, con 10 puntos, tenemos a nuestro científico de relumbron Javi Guardiola:

En el segundo lugar con 11 puntos y tras una lucha encarnizada contra el artículo que ha acabado primero, tenemos a nuestro sueco favorito montando en bici:

Y el ganador con 13 puntos es nuestro tertuliano científico favorito:

premio

Mi más sincera enhorabuena a @2qblog por este premio que espero que luzca orgulloso en su blog.

Y para finalizar este Carnaval os dejo con una carta que me ha hecho llegar Antonio Lorenzo (@torpedofotonico), flamante vencedor del concurso de microrrelatos:

VOSOTROS SOIS LOS GIGANTES.

Siempre me he considerado una persona curiosa. Y siempre he tirado más por el lado de la ciencia que por el del humanismo. No es que no me atraiga este último, pero es una simple cuestión de prioridades. Por supuesto, me encantaría leer y profundizar en las obras de Kant, Bergson o Borges, pero por  culpa de la rigidez que caracteriza al tiempo, no puedo dedicar todo el que yo quisiera a todos esos temas. Y porque mi procesador, desde luego, está limitado, y ni practicándole un poderoso “overclocking” podría procesar todo lo que está en cola.

Esa curiosidad siempre la he alimentado, pues como se alimentan casi todas las curiosidades, al menos en su etapa inicial: yendo a la librería y cambiando conocimientos por dinero. Pero ahora también existe eso que se ha dado en llamar redes sociales. Y lo bueno que tienen es que sirven de nexo y de puerta de entrada a más conocimiento. Sigues a una persona, que tiene un blog, que hace referencia a un libro, en el que lees otra cosa distinta que despierta tu curiosidad, y sobre la que seguro que encuentras otro blog, y así sucesivamente, de forma que cada vez vás profundizando un poco más, y cuando te das cuenta estás virtualmente rodeado de gente que lo único que hace es alimentar tus ansias de conocimiento. Lo cual es absolutamente maravilloso.

Y sí, me estoy refiriendo a todos vosotros que empleáis vuestro precioso tiempo en ennoblecer el arte de la divulgación científica.

Gracias a vosotros puedo sentir esa dulce impotencia que me provoca saber que nunca podré viajar a la nebulosa de Orión, a pesar de que la puedo ver con mis ojos desnudos y empequeñecidos. Acercarme un poco a una ligerísima concepción de lo inabarcables que son las escalas que miden el tiempo geológico o el tamaño del universo. Comprobar que esas escalas aplican en sentido inverso cuando hablamos de la probabilidad de que algo tan asombrosamente aleatorio como la vida exista o de la medida de las partículas que no vemos pero que gracias al tejido matemático sabemos y tenemos la suficiente certeza de que están ahí. Y  que esas mismas partículas, formando un conjunto e interactuando entre si, dan lugar a esa fascinante emergencia que llamamos mente, esa recursiva herramienta que intenta autoexplicarse y que nos permite maravillarnos de nuestro entorno.

Todo esto es mucho más fácil desde que personas como vosotros ponéis a mi disposición y de todo aquel que sienta un mínimo de curiosidad todas esas colecciones de datos,  experimentos,  pensamientos, hipótesis y razones para refutarlas, y que me permiten darme cuenta de que cada vez soy más pequeño, y que cada vez hay más cosas que no sé, y que cuanto menor se hace la proporción cosas que sé/cosas que ignoro, más emocionante y asombroso me resulta cada nuevo descubrimiento.

El otro día me concedisteis un premio. Nunca había ganado antes un concurso de nada. El premio oficial es un libro de relatos de ciencia ficción, gracias al Carnaval de Física que organizó este blog y su esforzado y generoso dueño. Pero el mayor premio para mí ya me lo lleváis concediendo desde que os leo. Acrecentado con la sensación de que el otro día pasé a formar parte de algo, que puede que sea efímero, virtual y subjetivo, pero cuya huella es ya indeleble.

Hago poco ruido, no soy conocido y me gusta vivir en la penumbra. Y como yo, seguro que hay mucha gente que os lee y que piensa lo mismo. Me permito desde aquí apropiarme de su opinión durante un breve instante, para expresaros mi eterno  agradecimiento por el simple hecho de haceros visibles y ser generosos.

Vosotros sois los verdaderos gigantes. Ni se os ocurra nunca pensar lo contrario.

🙂

Me apetecía muchísimo compartir todo esto.

Desde el profundo aprecio que ya siento por vosotros,

Antonio Lorenzo.

Personalmente me siento más molino de viento que gigante ; ) . Se agradecen mucho las palabras de Antonio para todos los que intentamos poner nuestro granito de arena en el loco mundo de la divulgación. Nos vemos dentro de unos meses en otro Carnaval, pero esta vez no será de física.

tumblr_m3lum5TCS01qznffv (1)

Viaje locuelo a otras dimensiones con Monte Carlo

Hace tiempo publiqué una entrada sobre la historia de los métodos Monte Carlo, entrada que tuvo su réplica en El escriba matemático, explicando la pequeña locura que fue mezclar Python y Geogebra 5 en fase beta. De estos dos posts surgió esta animación de cálculo del número PI:

Cálculo de PI mediante el método Monte-Carlo

 

Pero ¿se puede afinar más en la búsqueda del número PI por este método? La respuesta es un SÍ rotundo. Una característica importante a la hora de ejecutar un método Monte Carlo es realizar una buena elección del generador de números aleatorios, cosa que no hice.

El cálculo de PI es un ejemplo de integración mediante método Monte Carlo: calculamos el área del sector del círculo y, gracias a la relación entre el área de ese sector y del cuadrado que lo contiene, obtenemos la aproximación de PI.

El área del cuadrado será

A_{cuadrado} = r^2

y el área del sector será

A_{sector} = 1/4 \pi r^2

Si dividimos el área del sector por el área del cuadrado, tendremos:

\frac{A_{sector}}{A_{cuadrado}} = \frac{\pi r^2}{4 r^2} = \pi/4

Si realizamos la división del número total de puntos que tenemos dentro del círculo respecto al número total de puntos que se han señalado en toda la área del cuadrado, tendremos una aproximación del valor de π

\frac{puntos dentro circulo}{puntos totales} \approx \pi/4

En este tipo de problemas, un buen generador de números aleatorios será aquel que consiga cubrir el espacio estudiado lo más homogéneamente posible. De esta forma, habrá más probabilidad de que la razón entre el total de puntos lanzados y los puntos dentro de nuestro objeto sea similar a la razón real entre el volumen de nuestro campo de pruebas y el objeto circunscrito que deseamos medir.

Investigando el tema, descubrí un generador de números pseudoaleatorios llamado secuencia de Sobol (más información aquí) y que distribuye puntos de una forma muy homogénea a lo largo de las dimensiones que elijamos. A continuación, un ejemplo de una distribución de puntos obtenida uniformemente y otra obtenida mediante una secuencia Sobol:

Comparativa de la generación de números aleatorios mediante el generador uniforme de python y la secuencia Sobol

Comparativa de la generación de 1000 puntos aleatorios mediante el generador uniforme de python y la secuencia Sobol

Lo siguiente fue comprobar si realmente se notaba la diferencia al realizar el cálculo de PI usando un método u otro. Aquí tenéis la comparación del cálculo de PI con un generador uniforme de números aleatorios y con un generador de secuencias Sobol:

Cálculo de pi mediante distintos tipos de generadores de números aleatorios.
Cálculo de pi mediante distintos tipos de generadores de números aleatorios. En el eje y tenemos el valor de pi y en el eje x el número de puntos utilizados en el cálculo.

El cálculo se realizó para distintos números de puntos lanzados, hasta un máximo de 100.000 puntos. Se puede ver con claridad la mejora que produce el uso de una secuencia Sobol (azul) respecto a un generador de números aleatorios uniforme. La convergencia hacia el valor de PI es muy evidente cuando usamos secuencias Sobol. Para ver el código fuente usado puedes ir a la parte final.

¿Por qué conformarnos solo con dos dimensiones?

Poco después descubrí un enlace a un artículo, ya con solera, de Gaussianos:

¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N?

Grosso modo lo que nos cuenta es el particular comportamiento del volumen de una esfera de radio 1 a medida que aumentamos el número de dimensiones. Podemos ver cómo en principio el volumen aumenta con el número de dimensiones para luego decrecer, tendiendo hacia cero a medida que aumentamos n. La fórmula para el volumen de una n-esfera de radio 1 es:

V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma \left ( \frac{n}{2}+1 \right )}

La explicación es bastante lógica; para que un punto del espacio de n-dimensiones se encuentre dentro de la n-esfera de radio 1 correspondiente, debe cumplir que su distancia al origen sea menor o igual a 1, y a medida que aumentamos las dimensiones llega un momento en el que es muy difícil encontrar puntos que cumplan esta condición, ya que para cada dimensión tenemos que sumar el cuadrado de un nuevo término.

La fórmula para saber si un punto está dentro de una n-esfera es:

\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq 1

La rabia del asunto es que es imposible visualizar una n-esfera de más de tres dimensiones dentro de un cubo, a su vez, de n-dimensiones. Quizás sea imposible imaginarlo, pero una computadora sí que puede ayudarnos a hacer algo similar: podemos calcular aproximadamente el volumen de una n-esfera de la misma forma que hicimos antes con el área de un círculo. Así que toca lanzar n-puntos a cascoporro para meter el dedo en la yaga y ver si todo esto es cierto.

Para cada dimensión, el cálculo del volumen de la n-esfera de radio 1 será el siguiente:

V_n = V_{n cubo} \frac{puntos\ dentro\ n-esfera}{puntos\ totales}

Siendo el volumen del n_cubo: V_{n cubo} = 2^n ya que cada arista del cubo tendrá longitud 2: [-1,1].

El código para realizar el cálculo sería el siguiente:

#Calculo del volumen de una n-esfera. Como parametro recibe el numero de dimensiones y de puntos a generar, como salida devuelve el volumen
def calc_n_sphere_sobol(n_dimensions, n_points):
    #numero de puntos dentro de la n-esfera
    hits = 0
    #inicializador de la secuencia sobol
    sout = random.randint(1,10000)

    for i in range(0, n_points):
        #generar punto n-dimensional
        p, sout = sobol_lib.i4_sobol ( n_dimensions, sout )

        #transforma el numero del intervalo [0,1] al intervalo [-1,1]
        p = (p*2)-1
        j = 0
        s = 0

        #sumar cuadrado de las componentes
        while (j<n_dimensions and s<=1):
            s+=p[j]**2
            j+=1
        #comprobar si el punto esta contenido en la n-esfera
        if (s<=1):
            hits += 1
    #devolver volumen de la n-esfera
    return  (2**n_dimensions)* float(hits) / n_points

Y los resultados comparados con el volumen dado por la fórmula:

Cálculo del espacio ocupado por una n-esfera de radio 1 para distintas dimensiones

Cálculo del espacio ocupado por una n-esfera de radio 1 para distintas dimensiones. En el eje y tenemos el volumen y en el eje x las dimensiones.

Voi-lá, podemos ver cómo el método Monte Carlo se acerca a la función que describe el volumen de la n-esfera. Aquí están los datos obtenidos para 1.000.000 de puntos lanzados para las distintas dimensiones:

dimensiones volumen n-cubo volumen n-esfera Monte Carlo Puntos dentro
1 2 2,000000 2,000000 1000000
2 4 3,141593 3,141700 785425
3 8 4,188790 4,188096 523512
4 16 4,934802 4,936320 308520
5 32 5,263789 5,263712 164491
6 64 5,167713 5,174656 80854
7 128 4,724766 4,734080 36985
8 256 4,058712 4,066048 15883
9 512 3,298509 3,289088 6424
10 1024 2,550164 2,516992 2458
11 2048 1,884104 1,837056 897
12 4096 1,335263 1,314816 321
13 8192 0,910629 0,950272 116

El número de puntos que cumplen las condiciones de la n-esfera disminuye con el número de dimensiones, pero a la vez aumenta el volumen del n-cubo en el que está circunscrita. La relación máxima entre los puntos “acertados” y los lanzados respecto al volumen del n-cubo se da cuando llegamos a cinco dimensiones, y a partir de ahí el volumen de la n-esfera empezará a converger hacia cero.

Otra consideración a tener en cuenta es que cada vez que aumentamos una dimensión, el volumen del n-cubo aumenta. Como consecuencia, la muestra de 1.000.000 de puntos es menos significativa, por lo que los resultados empeoran si no aumentamos el número de puntos aleatorios utilizados.

∞∞∞

Este artículo se publicó originalmente el 12 de diciembre de 2012 en El escriba matemático, un blog donde incluyo artículos más técnicos y relacionados con la programación y herramientas matemáticas. Le tengo especial cariño a esta historia porque fue mi primera participación en un carnaval de matemáticas y tuvo su premio.

Este artículo participó en la 3.141592653 Edición del Carnaval de Matemáticas que alojó Que no te aburran las M@tes y ganó el premio al mejor artículo, porque los informáticos que estudiamos física a veces les caemos bien a los matemáticos 😛

Precioso, ¿verdad?

Referencias y enlaces de interés

La historia del método Monte Carlo: con ordenadores prehistóricos, bombas nucleares y personajes ilustres como Fermi, Ulam y Von Neumann.

Código fuente usado para realizar las pruebas

¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión N? en Gaussianos

Secuencias Sobol en Wikipedia

Implementación de Sobol en Python

Carnaval de la física #49: el desenlace

Todas las cosas buenas se acaban, y este Carnaval no podía ser menos. Por segundo año consecutivo, febrero ha sido un mes lleno de física en este blog y, por segundo año consecutivo, he disfrutado como un enano de la experiencia.

Si el año pasado fue especial por rendir homenaje a un grande como Sergio L. Palacios –al que ahora podéis encontrar en El tercer Precog–, este año llegó la loca idea de hacer un concurso de microrrelatos sobre física, en el que creo que los que más hemos disfrutado hemos sido el jurado. De hecho me han comunicado que, a pesar de la baja calidad del jamón que les ofrecí, se apuntarían a otra de estas aventuras.

El precioso logo del carnaval que preparó con mucho amor mi media manzana-de-Newton

El precioso logo de esta edición, que preparó con mucho amor mi media manzana-de-Newton

Una de datos del carnaval

estadistica1

Una de datos de #microfísica

estadistica2

estadistica3

La primera pista: participantes que han llegado al top 10. @cuent_cuanticos ha llegado con 3 relatos al top 10, @torpedofotonico con 2 y el resto con uno.

La primera pista: participantes que han llegado al top 10. @cuent_cuanticos ha llegado con 3 relatos al top 10, @torpedofotonico con 2 y el resto con uno.

Los artículos del carnaval

El tema sobre el que trataba el carnaval era la física de lo cotidiano y hemos tenido bicicletas, bebés con remolinos imposibles de peinar, momentos de tensión en el cuarto de baño, golpes, desequilibrios, reflejos de la luna y un montón de historias que merece la pena leer.

A continuación tenéis el listado de artículos participantes. También podéis verlos mucho más bonitos, con sus fotos, comentarios y algunas animaciones locuelas en este enlace.

  1. ZTFnews: Agner Krarup Erlang y las redes telefónicas
  2. ZTFnews: 100 años de difracción por los cristales
  3. Haciéndome el sueco: La física de tu bicicleta
  4. Araceli Giménez: La falsa fotografía infraroja como fotografía artística
  5. ZTFnews: Los Migoos y la teoría de la panspermia
  6. Empollón integrista: Demostrando teorema de Pitágoras cómo lo haría un físico
  7. Enseñanza, historia, filosofía y divulgación de la química: Calendario científico: 6-12 de febrero
  8. Desayuno con fotones: RADIACTIVO MAN EN “LA RADIACIÓN NUESTRA DE CADA DÍA”
  9. ZTFnews: William Huggins, observador de estrellas
  10. Las historias eulerianas: El remolino necesario
  11. Ciencia y Lógica son suficientes: Sobre la invalidez lógica de las mediciones plenamente veraces y sus efectos en la física
  12. El zombi de Schrödinger: La caca que produjo un efecto supersónico
  13. ZTFnews: Eugène Antoniadi y los canales de Marte
  14. Pero esa es otra historia y debe ser contada en otra ocasión: Basura bella
  15. Naukas: la física de una hostia
  16. ZTFnews: Daumier caricaturiza la ciencia
  17. Meditaciones dactilares: Para ser conductor de primera acelera
  18. ZTFnews: “Un matemático puede decir lo que quiera, pero un físico debe estar, al menos parcialmente, en su sano juicio”
  19. Haciéndome el sueco: La física de un eje de ferrocarril
  20. Vega 0.0: La fusión nuclear por confinamiento inercial (FCI)
  21. Enseñanza, historia, filosofía y divulgación de la química: Calendario científico: 13-19 de febrero
  22. 1011: EL EFECTO DOPPLER COMO VELOCÍMETRO
  23. Acelerando la ciencia: El color de las cosas
  24. ZTFnews: Georg Joachim Rheticus, el primer copernicano
  25. Cienciarnizate: ACUÉRDATE DE CUALQUIER DÍA TUYO. AHÍ TIENES… ¡FÍSICA!
  26. ZTFnews: Lambert Adolphe Jacques Quetelet
  27. ZTFnews: La estrella matutina: Miró y Bretón
  28. ZTFnews: Arrhenius, el padre de la física-química moderna
  29. ZTFnews: Le chevalier Jean-Charles de Borda
  30. ZTFnews: Las lenguas locales para la ciudadanía mundial: la ciencia en primer plano
  31. ZTFnews: Allan McLeod Cormack y el desarrollo del TAC
  32. ZTFnews: Codex Seraphinianus: ciencia y vida en un mundo imaginario
  33. El mundo de las ideas: ¿CONOCES A ÉSTE FÍSICO?
  34. Cuantos y cuerdas: El día en que los planetas dejaron de obedecer al mismísimo Newton.
  35. El mundo de las ideas: El primer calendario lunar
  36. Bitácora de un profesor de ciencia: Un cuento para explicar la mångata
  37. COSMOS-El UNIVERSO: 15 feb 1564-2014, 450°aniversario del nacimiento de Galileo Galilei
  38. Haciéndome el sueco: Eso va a ser de la física

Ahora llega vuestro turno para elegir el mejor artículo de la presente edición. Desde hoy, y hasta el día 15 de marzo, podréis votar a los que consideréis los mejores artículos dejando un comentario en esta entrada.

Se puede votar a tres entradas, con diferente puntuación que irá de un punto mínimo a cinco puntos máximo: por ejemplo, si voto a X con 5 puntos, votaré a Y con 3 o 4, y a Z con 1 o 2 puntos.

Las votaciones no deben ser anónimas, así que habrá que decir el nombre y el blog desde el que se realiza la votación. Y si no tienes blog y quieres votar, necesitas un perfil público (blogger, wordpress,…) creado antes de la publicación de esta entrada.

La entrada ganadora recibirá un premio virtual que ha sido diseñado por Araceli Giménez Lorente, justo como este que me llevé yo hace unos meses ;P

Septembre2'13

Y ahora vamos con #microfísica

Aparte del microrrelato ganador, queda un enigma por resolver: ¿quienes son los miembros del jurado? Aquí tenéis a los locos que aceptaron mi invitación: 



lauramorron ununcuadio

drlitos

cuantozombiSecret

El proceso de selección de relatos se realizó mediante una primera ronda, en la que el jurado votaba los relatos con puntuaciones que iban del 1 al 5. Si un relato era del propio miembro del jurado, lo votaba con un 1. De las cuatro votaciones se descartaba la peor nota y se hacía la media. De esta primera ronda salieron 12 candidatos a la victoria final.

En la ronda final se tenían que elegir los 10 relatos que más le gustaba a cada miembro de jurado en estricto orden. Si un relato era de un miembro del jurado debía descartarlo en la votación. De nuevo se hacía la media de las tres mejores puntuaciones. Y así obtuvimos el top 10 final, que a continuación vamos a desvelar.

Pero antes, ¿de qué se habló en el concurso?

Cloud 1

Doppler no fue una de las palabras más usadas, pero su efecto si estuvo presente en numerosos relatos. Schrödinger, su gato y su caja también fueron uno de los temas preferidos, junto a la manzana de Newton. Todos estos temas han conseguido llegar a la final con al menos un relato. Como el tiempo es el claro dominador de este concurso y es un recurso que nunca nos sobra, os dejo ya con la lista de los mejores relatos.

Los 10 mejores relatos

#10

#9

#8

#7

#6

#5

#4

#3

https://twitter.com/torpedofotonico/status/435901700860575744

@torpedofotonico: Se apagaban las últimas notas de la sinfonía Hertzprung-Russell cuando el derviche cósmico empezó su vertiginosa danza. #microfísica

#2

#1

https://twitter.com/torpedofotonico/status/434052897765351424

@torpedofotonico: Las galaxias, llenas de pavor, dejaban tras de sí un rastro rojizo y desesperado. #microfísica

Nuestro mayor agradecimiento a todos los que habéis participado y nuestra más sincera enhorabuena a todos los que habéis llegado al top 10. Ahora solo queda contactar con @torpedofotonico para que pueda disfrutar de su premio.

Listado con todos los relatos participantes en el concurso.

Me despido dando el testigo a El Mundo de las Ideas que albergará la edición del Carnaval en marzo. Así que a disfrutar de la nueva edición. Y el año que viene espero poder repetir edición en febrero y así convertirlo en una tradición.

Más información sobre el jurado

Laura Morrón

Dolores Bueno

Carlos Romá-Mateo

Carnaval de la Física #49: el concurso

Prometí una sorpresa en el Carnaval y tengo que confesar que tiene truco. Porque para que esta sorpresa funcione, os necesito a vosotros.

epaneedsyou

Si os lo dice él, no os podéis negar. Os cuento rápidamente: desde el día 12 a las 00:00 horas hasta el día 22 a las 23:59 estará abierto el plazo para participar en esta iniciativa. Lo único que necesitáis es imaginación, pasión por la física y capacidad de síntesis. El objetivo: crear un microrrelato relacionado con la física. Las reglas son las siguientes:

1.- Los microrrelatos incluirán el hashtag #microfísica.
2.- Podrán enviarse vía twitter o, en caso de no tener usuario en twitter, como comentario dentro de esta entrada.
3.- El límite de tamaño será de 128 caracteres. Que son los 140 de límite de twitter menos los 12 del hashtag.
4.- Deberán tener relación con la física.
5.- No hay límite de microrrelatos por participante.

Por ejemplo:

“Solo hay tres cosas infinitas: el universo, la estupidez humana y las frases que me atribuyen.” Albert Einstein #microfísica

¿Y qué haremos con estos microrrelatos? Pues una vez llegado el día límite, nuestro jurado multidisciplinar* elegirá los mejores, que formarán parte del resumen final del Carnaval. Además, el mejor relato recibirá como premio el libro electrónico Ad Astra, que reseñé en este blog.

ad-astra-portada

Así que afilad vuestro ingenio, preparad vuestros microrrelatos y ¡nos leemos!

* Nuestro jurado es el secreto mejor guardado del blog, no queremos que reciban jamones y otros sobornos durante las deliberaciones. El día del resumen final desvelaremos sus identidades.

logo-carnaval-fisica

A %d blogueros les gusta esto: