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La caca que produjo un efecto supersónico

—Scotty, deja de dar rodeos ¿cuánto tardarás en arreglarlo?

—Con un poco de suerte tendremos los motores al 80% en unas cinco horas. Pero hemos tenido que cortar el suministro a todos los sistemas no críticos de la nave.

Kirk volvió a hacer un extraño movimiento de balanceo, a duras penas mantenía la compostura. El último retortijón había sido más salvaje que un Klingon en una pelea de bar, no debería haber comido tanto picante en la cena.

—Está bien, dentro de tres horas quiero ver a la Enterprise a pleno rendimiento.

Scotty se quedó con las ganas de replicar mientras veía como el capitán desaparecía rápidamente de la sala. Kirk pulsó como 10 veces seguidas el botón del ascensor, solo para darse cuenta de que era inútil, no había suministro de energía. ¿Usar las escaleras? Imposible; en el último apretón había notado como la tortuga había empezado a asomar la cabecita y el esfuerzo no le permitiría aguantar hasta llegar a su preciado y limpio baño particular. Tendría que adentrarse en los baños de la sala de máquinas y todos sabían que no era la zona más limpia de la Enterprise.

Entró rápidamente en uno de los excusables. En un solo movimiento grácil y limpio se bajó los pantalones y se sentó en el trono. La ejecución fue rápida, pero entonces llegó el desastre. La caída desde el aserradero del primer tronco provocó un sonido seco y corto —PLOP— y acompañando al sonido: EL FRESCOR. Una sensación refrescante en las posaderas que solo podía significar una cosa: el agua del inodoro había conseguido un impacto directo en el tercer ojo de Kirk.

Los baños de la Enterprise son muy modernos y están llenos de lucecitas, qué pasa.

Se limpió lo mejor que pudo y recorrió el camino hacia su camarote con la mayor dignidad posible. Una vez allí, a salvo de las miradas de la tripulación, se duchó y se tumbó en la cama en posición fetal llorando desconsoladamente. Se sentía ultrajado en lo más íntimo, ¿por qué le había pasado? Necesitaba respuestas. Sin embargo, no podía confesar lo que le había pasado a cualquiera, se reirían de él. Necesitaba a alguien que no hiciera chistes de su situación, necesitaba a Spock.

Camarote del Doctor Spock, dos horas después del evento húmedo.

—Así que salpicó y le mojó las posaderas, interesante —Kirk sabía que esa interjección, solo podía significar una cosa, había captado el interés de Spock como científico.

—No, no es interesante, es asqueroso, quiero que investigue el problema y lo arregle. Eso sí, con la máxima discreción.

—No hay problema, se exactamente por qué ocurrió. ¿Se ha fijado en lo que pasa cuando lanza una piedra a un río? ¿Lo que pasa cuando se hunde?

—Pues que salpica agua, ¿esa va a ser su explicación, Spock?

—Estoy sentando las bases para explicárselo. Lo que pasa en realidad es que al hundirse la piedra en el agua se crea una cámara de aire por encima de la misma al principio de su descenso. La presión del agua que la rodea hace que esta cámara se comprima en una forma parecida a un reloj de arena y finalmente el aire sale despedido provocando un chorro de agua final que en ocasiones puede alcanzar alturas que superan la altura inicial de la piedra. Fíjese en esta foto:

caida-bloque-agua

—No entiendo nada, Spock.

—Verá, hace muchos años unos científicos de su planeta decidieron estudiar lo que pasaba cuando un objeto sólido caía al agua. Para ello, prepararon un dispositivo que consistía en un disco de 2 cm de radio sujeto a un dispositivo que tiraba de él hacia abajo a una velocidad constante de un metro por segundo. Llenaron el tanque donde se encontraba el agua con humo, para poder visualizar mejor el fenómeno, y luego usaron un láser que iluminaba la escena y una cámara de alta velocidad para grabar el experimento. Lo que está viendo son tres momentos de la bajada del disco a través del agua. En la primera foto se crea un cavidad simétrica respecto a la dirección de bajada que se llena con el humo. En la segunda foto, puede ver como la presión del agua hace que esa cavidad tome una forma parecida a un reloj de arena. Finalmente, en la tercera foto, la cavidad colapsa y el humo es expulsado hacia arriba.

—¿Y solo hay humo en la cavidad dentro del agua?

—No sea impaciente Capitán, la foto es una composición entre los datos que se obtuvieron con el láser y las fotografías realizadas con la cámara. El color naranja corresponde a los datos obtenidos con el láser. Lo importante de estas fotos es que la forma que adquiere la cavidad se asemeja a una tobera de Laval.

—Spock, eso sí que lo comprendo, lo estudiamos en la academia. Se usaba mucho en el siglo XX para controlar flujos de gases en los motores de aviones y cohetes.

—Así es, Capitán. Con una tobera de este tipo se pueden acelerar los gases que pasen por ella y, en este caso, la presión del agua sobre la cavidad provoca esta forma y un efecto parecido. Así que los investigadores se dedicaron a hacer modelos matemáticos que les permitieran obtener los resultados que habían visualizado mediante el experimento. Fíjese:

grafica-velocidad-presion

—Ya empezamos con las gráficas raras. Spock, explíqueme de qué va esto.

—Verá, en la gráfica principal puede ver una línea roja, que representa la velocidad a la que sale el aire de la cavidad. En azul puede ver la presión ejercida sobre la cavidad. En esta gráfica se ve cómo con una presión solo un 2% superior a la ambiental, el chorro puede salir a más de 300 metros por segundo, llegando incluso a velocidades supersónicas. En la gráfica pequeña puede ver la comparativa entre los resultados experimentales (rombos negros) y el modelo matemático que realizaron los científicos.

—¿Está diciendo que el golpe de frescor que sufrí se produjo tras un efecto supersónico que hizo que saliera el agua despedida hacia arriba a gran altura?

—Es una posibilidad. También puede ser que expulsara sus excrementos con gran violencia y eso provocara el gran salpicón, pero en el caso de que cayera por la simple acción de la gravedad, podría haber sido así. Tenga en cuenta que una velocidad de un metro por segundo, como la del experimento, se puede alcanzar en una décima segundo, recorriendo 49 cm en caída libre, si lo calculamos  en gravedad terrestre, que es la que está establecida en esta nave.

—Vaya, sigue siendo humillante, pero ahora suena bastante mejor: truños que provocan flujos de aire supersónicos. Pero a lo que iba, Spock, quiero que solucione este problema. Rediseñe todos los inodoros de la nave para que no vuelva a ocurrir.

—Capitán, ya existe una solución bastante sencilla y barata. En Vulcano tenemos un proverbio ancestral que dice: “si tu ojete no quieres refrescar, un trozo de papel higiénico echa antes de cagar”.

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Este artículo participa en el Carnaval de la Física edición XLIX que se organiza en este mismo blog. El tema sobre el que gira el carnaval es la física de la cotidiano, y ¿hay algo más cotidiano que realizar la visita diaria al aserradero y soltar algún tronco?

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Para más información

Stephan Gekle, Ivo R. Peters, José Manuel Gordillo, Devaraj van der Meer, and Detlef Lohse. Supersonic Air Flow due to Solid-Liquid Impact. El artículo científico que me ha hecho escribir este  artículo. Os recomiendo su lectura si os habéis quedado con ganas de más, porque el artículo es bastante curioso. Espero que me perdonen sus autores por buscar un ejemplo tan mundano.

Información sobre toberas en wikipedia

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El dragón diferencial

posada

Posada de los dos caminos

El posadero lo había llamado estofado, pero su verdadero nombre debería ser sopa de grasa con tropezón de carne sospechosa. Para mejorar todavía más la cena, seguía molestándole con esa horrible voz nasal:

—Así que decís que habéis venido para matar al dragón —dijo mientras se aguantaba la risa.

Runge levantó la mirada y contestó entre dientes:

—No, he dicho vencer al dragón. —Su intento de parecer duro quedó arruinado al ser incapaz de partir el trozo de pan que acompañaba al estofado. Si pudiera hacerse una armadura con ese pan, el dragón no tendría ninguna posibilidad contra él. El posadero seguía con su espectáculo para alegría de la parroquia.

—Un alfeñique como vos no serviría ni para rellenar el hueco de una muela de ese horrible monstruo. ¿Conocéis al caballero Bernoulli? —Runge palideció, no podía ser, ¿se le había adelantado otra vez ese presuntuoso? La familia Bernoulli siempre se cruzaba en su camino.

El posadero se cansó de esperar la respuesta de su cliente y siguió con su monólogo.

—El dragón lo partió por la mitad con un golpe de su cola antes de que pudiera sacar su espada. Luego chupó las dos mitades como si fueran la cabeza de una gamba.

Un escalofrío mezcla de pavor y de placer recorrió la espina dorsal de Runge. Para evitar que los clientes vieran su irónica sonrisa, contestó con un simple gruñido mientras seguía centrado en su plato. El dueño de la posada tenía carrete para rato, así que siguió poniéndole al día.

—Por vuestro aspecto no sois un guerrero como Bernoulli ¿no seréis uno de esos magos? El gran Frobenius vino aquí jactándose de sus poderes y aseguró que, sin despeinarse, mataría al dragón con una serie de sus potentes conjuros.  Antes de que hiciera su primer pase mágico, el dragón le había atravesado el pecho con una de sus garras.

—No me gusta la magia. Pero empieza a caerme bien ese dragón.

—¿Entonces cómo demonios queréis matarlo?

Runge miró hacia arriba con gesto de desesperación, pidiendo paciencia a los dioses.

—He dicho que venceré al dragón, no que vaya a matarlo. Solo necesito mi ingenio y encontrar las condiciones ideales.

dragonLiso

La verdad sobre la física

Voy a contaros un secreto. Cuando se empieza a estudiar física, todo es como un mundo ideal: las balas de cañón viajan por el vacío y no las frena el aire, las cargas eléctricas están muy quietas en su sitio y los péndulos solo realizan pequeñas oscilaciones. Pero ese mundo ideal se acaba pronto y esas fórmulas tan sencillas de aprender empiezan a escasear. Los sistemas van complicándose y aparecen las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es aquella en la que su valor depende de la tasa de cambio de una de sus variables, o dicho de otra forma, es una ecuación en la que aparecen términos en forma de derivada. En el caso del muelle, la amortiguación es un factor que depende de la propia velocidad del sistema.

m\frac{d^2x}{dt^2} = -k x - b\frac{dx}{dt}

Ecuación de la segunda ley de Newton que describe el comportamiento de un muelle amortiguado.

También hay un mundo ideal de las ecuaciones diferenciales. Durante un tiempo el profesor te lanza legiones de ecuaciones diferenciales. Unas pueden ser destruidas con la ayuda de la función exponencial, otras pensando en campos conservativos o en los truquitos que genios como Bernoulli, Frobenius o Laplace nos han regalado. Pero llega un día en el que ante ti se presenta la ECUACIÓN; hasta ese día has luchado con pequeñas bestias diferenciales, pero ahora tienes en frente al DRAGÓN DIFERENCIAL.

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La prueba de Euler

paisaje

—¿Y qué crees que pensarán los habitantes de este planeta cuando te vean con esas pintas? ¿Y dónde vas con esa toalla? ¿A la playa?

—Si leyeras más la maldita guía, sabrías que es importante tener siempre a mano una toalla cuando viajas a otros planetas, pero tú siempre estás con ese manualucho tuyo de exploradores. Además, ¡¿cómo te puedes meter conmigo llevando ese ridículo sombrero?!

—Se llama salacot y es muy útil para este tipo de climas.

—¿Sabes lo que es útil para este tipo de climas? Mi toalla —Carl se limpió el sudor con su toalla mientras miraba desafiante a Thelonious.

Los guerreros de la tribu seguían observando a los extraños visitantes que se gritaban entre sí. La piel oscura de los dos alienígenas les intrigaba y el jefe de la tribu, que se había cansado ya de observarlos, se decidió a actuar, carraspeando sonoramente.

—Oh, vaya, tenemos visita —dijo el hombre que llevaba un sombrero ridículo—. SALUDOS CORDIALES, SOMOS LA EXPEDICIÓN DE BÚSQUEDA Y PRESERVACIÓN DE CULTURAS Z20-10345.

Su compañero lo miró con gesto desaprobador: —Cuántas veces te he dicho que por gritarles y hablar despacio no se van a enterar.

—Pues parece que me han entendido —replicó Thelonious.

—Evidentemente, debido al pez de Babel que te coloqué antes de llegar.

—¿Que me has metido ese pez húmedo asqueroso en la oreja?

—¿Nunca te han dicho que tienes un sueño muy pesado?

El jefe de la tribu volvió a carraspear, esta vez más fuerte. El visitante que llevaba flores dibujadas en la ropa se adelantó y esta vez, por fin, entendieron algo.

—Buenos días, venimos en son de paz en una misión de reconocimiento. Han sido elegidos para decidir el destino de su planeta; si consiguen pasar una prueba de inteligencia, podremos marcar el planeta para que no sea destruido por la flota vogona para la creación de la autopista interestelar DA-42. Mi nombre es Carl y el del sombrero ridículo se llama Thelonious.

Carl abrió la guía. “No se asuste”, el mensaje inicial, siempre estaba allí para recordar a los viajeros que no había que entrar en pánico ante la enormidad de sus contenidos. Rápidamente hizo una búsqueda sobre la función exponencial y encontró el ejemplo que necesitaba.

Los aborígenes se acercaron cuando Carl les hizo una señal mostrándoles la pantalla.

—La función exponencial se puede aproximar mediante la suma de términos

f1

Aquí podéis ver cómo la suma va aproximando la función exponencial:

sucesión

Aproximación mediante los 7 primeros términos. Puede verse como, paso a paso, se va acercando a la función exponencial. (Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Si siguiéramos sumando términos, iríamos aproximando mejor la parte izquierda de la función, pero podéis ver cómo la parte derecha prácticamente es calcada con llegar a cinco términos.

sucesión50

50 términos de la sucesión calculados. Podemos ver cómo al aumentar el número de términos se consigue aproximar mejor la parte izquierda de la función.

Además, esta suma tiene una característica importante si la derivamos o la integramos

f2 f3

Bastaría con manipularlas un poco para volver a obtener la suma inicial:

f4

f5

En este caso bastaría con seleccionar la constante C como 1 para tener de nuevo f(x). En ambos casos se ha hecho un corrimiento del índice n, denominándolo k, para que el exponente y el factorial tengan un valor igual al de f(x).

El jefe de la tribu estaba enfadado, no era precisamente el más listo entre su pueblo, simplemente era el que golpeaba más fuerte con una piedra en la cabeza de sus rivales; por eso mismo los miembros de la tribu se abstenían siempre de mostrar su mayor inteligencia en su presencia.

Thelonious empezó a aplaudir.

–Factoriales, potencias, sumatorias, el concepto de cero y de infinito y finalmente te has gustado integrando y derivando. Te has cubierto de gloria, Carl, mira qué cara ponen, no se han enterado de nada. Seguramente no tendrán ni nociones básicas de matemáticas—.Le arrebató la guía a Carl y se acercó al jefe de la tribu.—Fíjense, ésta es la función exponencial y tiene unas propiedades bastante interesantes que hacen que sea muy útil. Para empezar tiene como peculiaridad que, cuando calculamos el área que hay entre la función y esta línea que es el eje, el valor que obtenemos es igual a la diferencia de los valores de la función en los dos extremos que hemos tomado. Fíjense, para medir el espacio he usado unos rectángulos, que cubren la zona, el problema es que miden el área con un error importante; si aumentamos el número de rectángulos… Voi-lá! Acabamos consiguiendo el mismo valor para esta área que para la resta de los valores de la función.

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Cuando calculamos la integral entre dos puntos, lo que estamos haciendo es obtener el valor del área que queda por debajo (o encima) de la función hasta llegar al eje x. En el caso de la función exponencial ese área es igual a la diferencia de valores de la propia función entre los puntos elegidos.
En el ejemplo se puede ver como para calcular el área se divide el espacio en intervalos para los que se dibuja un rectángulo, en la suma inferior se elige el valor inferior del intervalo como tope, y en la suma superior el valor más alto del intervalo. A medida que aumentamos el número de rectángulos nos acercaremos al valor real del área a calcular, al reducirse los errores por defecto y por exceso.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

—La otra propiedad interesante que tiene esta función es que en cualquier punto que tomemos su pendiente es igual al valor de la propia función. Pueden ver que, a medida que nos acercamos al punto, la pendiente se iguala con el valor de la función.

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La derivada de una función es la pendiente de esta en cada punto. En el caso de la exponencial, la derivada es la propia función, lo que quiere decir que su valor y su pendiente en un punto coinciden.
En este ejemplo se puede ver como al calcular la pendiente entre dos puntos por arriba y por debajo del valor e^1, podemos ir acercándonos al valor de la función a medida que tomamos puntos más cercanos. La línea verde sería la pendiente que estamos calculando por debajo, la roja la que calculamos por arriba y la morada es el valor teórico de la pendiente. Puede verse como las tres líneas convergen a medida que acercamos los puntos por arriba y por abajo.
(Si no puedes visualizar la animación, pulsa sobre la propia imagen).

Thelonious estaba demasiado enfrascado en sus demostraciones para darse cuenta de la piedra que el jefe de la tribu tenía en la mano . El salacot no resultó de mucha utilidad ante la pericia del guerrero para golpearle la cabeza. No se llegaba a jefe sin haber desarrollado una técnica depurada y eficiente.

oOo

Las últimas brasas se apagaban, y los niños de la tribu se peleaban por los últimos trozos de carne de lo que una vez fue Thelonius. El jefe de la tribu se limpió la boca con la toalla de Carl, y la dobló para usarla de almohada; por fin podría dormir con el estómago lleno, aunque fuera la última noche del planeta Tertulius.

Esta entrada participa en la edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es Geometría dinámica.

Y esta entrada es en gran parte un homenaje a Douglas Adams y su guía del autoestopista galáctico. Los que conozcáis la guía espero que lo hayáis disfrutado y los que no, ¿a qué esperáis?

Recursos

Aquí tenéis las fuentes que he creado en Geogebra para ilustrar el post:

El principio de Fermat, los extraterrestres y el pelo en el pechete

 Llamaron a la puerta y, antes de que pudiera contestar, Gary entró con aire entusiasmado.

—Illinois ha conseguido una repetición en física.

—¿En serio? Estupendo. ¿Cuándo ha sido?

—Hace unas horas; acabamos de tener una videoconferencia. Deja que te lo enseñe. —Comenzó a borrar mi pizarra.

—No te preocupes, no necesitaba nada de eso.

—Bien. —Tomó un trozo de tiza y dibujo un diagrama:

ejemplorefraccion

—Muy bien, éste es el camino que un rayo de luz traza cuando cruza del aire al agua. El rayo de luz viaja en línea recta hasta que toca el agua; el agua tiene un índice de refracción diferente, así que la luz cambia de dirección. Ya habrás oído esto antes, ¿verdad?

—Claro —asentí.

—Ahora viene lo interesante sobre el camino que toma la luz. El camino es la ruta más rápida posible entre esos dos puntos.

Lo que acabáis de leer es un trozo del relato corto La historia de tu vida, de Ted Chiang. En este relato, los humanos son visitados por una raza extraterrestre y uno de los intentos de comunicación que realizan con ellos es mostrarles distintos conceptos de la física que consideramos básicos, para que ellos puedan repetirlos en su idioma. El problema es que nunca conseguían que les entendieran, por muy simples que fueran esos conceptos. El primer acercamiento a la física de estos visitantes llegó con la ley de Snell, o mejor dicho, con el principio de menor tiempo. Vamos a contar primero un poco de historia de cómo llegamos a este conocimiento y luego veremos por qué estos extraterrestres lo entendieron tan bien.

Desde Ptolomeo hasta Fermat

Desde la antigüedad ha existido interés por estudiar las propiedades de la luz; de hecho en la antigua Grecia conocían sobradamente la reflexión de la luz. En el gráfico con el que comienza la entrada podéis ver que el rayo se reflejará con el mismo ángulo que el rayo incidente, es decir:

\theta_i = \theta_x

Pero no llegaron a dar con una teoría para la refracción. La refracción de la luz se produce cuando en el camino de un rayo de luz hay un cambio de medio. El ejemplo más claro lo tenéis cuando metéis una cucharilla en un vaso de agua: podéis ver que hay una discontinuidad en la imagen que percibís de la cucharilla:

refracción: cucharilla en un vaso con donuts parlantes al fondo

Público hipster comestible admirando la belleza de la física.

En el 140 d. C., Claudio Ptolomeo estudió la refracción creando un dispositivo que le permitía medir los ángulos de refracción de la luz al pasar de aire a agua. Registró los resultados de sus experimentos en una tabla con los valores para los ángulos de incidencia y refracción, pero no encontró la relación existente entre ellos. Hubo que esperar hasta 1621 para que Willebrord Snellius (Snell) encontrara la relación:

n_i \text{sen} \theta_i = n_r \text{sen} \theta_r

Donde n_i y n_r son las velocidades relativas a la velocidad de la luz en el vacío para cada medio.

Hoy en día es un concepto trivial y se suele repetir el experimento y la obtención de este resultado en prácticas de los primeros cursos de física:

Aquí tenéis los datos que obtuve cuando me tocó realizar este experimento. El primer ángulo que aparece en la tabla es el de incidencia y el segundo el de refracción. En la gráfica se representa los valores del seno para ambos ángulos y se puede ver como hay una relación lineal entre ellos.

Y miles de años después de Ptolomeo, yo hice mi propia tabla y, cientos  de años después de Snell, repliqué su descubrimiento. Evidentemente voy un poco atrasado si quiero ser un físico de renombre. En la gráfica podéis ver cómo al representar los senos del ángulo de incidencia y de refracción obtenemos una línea que implica la relación lineal entre ambas magnitudes. En este caso se trataba de un experimento de refracción entre aire y agua.

Pese a que Snell encontró esta relación entre los ángulos, desconocía el motivo de la misma, era una ley totalmente empírica. Así que tuvimos que esperar unos pocos años más para que fuera explicada. En 1650, Pierre de Fermat dio con la solución, y esta vez no le debió parecer tan trivial y escribió toda la demostración en lo que denominó principio del menor tiempo o principio de Fermat. Este principio lo que nos dice es que el camino que seguirá la luz entre dos puntos será aquel en que necesite menos tiempo para recorrerlo, aunque se aleje del camino geométricamente más corto.

Así que cuando la luz va desde el punto marcado como origen al punto marcado como refracción en la gráfica inicial, lo hará recorriendo el camino que le lleve menos tiempo…

contando

Pues lo que te estoy diciendo, que la luz seguirá el camino que signifique recorrer el espacio entre los dos puntos en el menor tiempo posible. Veámoslo con un ejemplo.

El inefable ejemplo del zombi de Schrödinger

Mitch pasaba una mañana tranquila en la caseta, la playa de Santa Mónica era un remanso de paz y el final de su turno se acercaba. Había elegido ese turno porque ese día esperaban la visita de una persona perteneciente a la nobleza española. Cuál fue su sorpresa cuando se encontró que la duquesa era un saco de piel con el pelo de Harpo Marx electrocutado y que, en lugar de hablar, balbuceaba.

Encima el narizotas de su hijo había venido a la playa y llevaba toda el día dando la murga con el teclado, a ver si los productores se apiadaban de él y le ponían a un hijo adolescente en condiciones. Neil Patrick Harris habría hecho un buen papel de hijo, siempre estuvo genial en médico precoz.

—Un momento, la duquesa no está en la tumbona. —Mitch se había despistado con sus sueños de tener un hijo adolescente en condiciones, pero su entrenamiento empezó a funcionar. Cogió sus prismáticos y realizó una rápida inspección de la playa: nada fuera de lo normal, excepto esa medusa en el agua. —Medusas. Un momento, aquí no hay medusas en esta época… ¡ESO ES EL PELO MOJADO DE LA DUQUESA!

Mitch saltó de la caseta hacia la arena ayudado de sus vigorosos brazos. El sol quemaba su piel, pero el pelo que lucía en su pechete le proporcionaba una capa aislante que le permitía pasar imperturbable los momentos de máximo calor. Buchanan inició la carrera impulsado por sus delgadas pero tonificadas piernas, de fondo sonaba la canción más hortera que hayáis podido imaginar en vuestra vida y en su mente solo había un pensamiento: ¡QUÉ NO NECESITE BOCA A BOCA TENGO QUE SALVARLA!

¿Qué camino escogió Mitch para poder salvar a la duquesa?

mitch2

Tranquilos, para hacerlo más sencillo os voy a dar un dato importante, la relación entre la velocidad de Mitch en el agua y en la arena:

Velocidad de Mitch Buchanan

El camino que debe tomar Mitch es el que le permita acercarse corriendo por la arena el máximo tiempo posible aprovechando su mayor velocidad y siempre que no signifique realizar un rodeo excesivo. Es decir, tiene que encontrar un equilibrio entre el espacio recorrido en la arena (más rápido) y el recorrido en el agua (más lento), por lo que elegirá un camino parecido al marcado como c. Veámoslo en este gráfico:

Ley de Snell y principio de Fermat

t1 y t2 es el tiempo que empleará Mitch en recorrer las distancias correspondientes en la arena y en el agua. En la parte de abajo podemos ver la gráfica con la suma de los dos tiempos.

Cuando se alcanza el tiempo mínimo para llegar desde el origen al destino, la razón entre los senos de los ángulos de entrada y salida coincide con la diferencia de velocidad con la que Mitch se desempeña en la arena y el agua.

Sí, tengo que reconocer que os he hecho un poco de trampa, y es que 0,75 es precisamente la diferencia de la velocidad de la luz cuando atraviesa el aire y cuando atraviesa el agua. Así que en esta animación tenéis una demostración muy visual de cómo la ley de Snell y el principio de Fermat son equivalentes, cuando alcanzamos el camino mínimo se cumple la ley de Snell. Fermat tuvo que demostrarlo geométricamente, pero una vez llegado el calculo infinitesimal gracias a Newton y Leibniz, la demostración de que la ley de Snell se obtiene del principio de Fermat es trivial. Podéis verlo en esta página de la Universidad del País Vasco (1).

El principio de Fermat y los extraterrestes a los que hemos dejado colgados hace un buen rato

El principio de menor tiempo, o de Fermat, es lo que denominamos un principio extremal de la física (2). No es el único, la mecánica puede formularse en base a principios de este tipo, tanto la clásica, como la cuántica y el universo tiene una tendencia a seguir caminos mínimos (o máximos). Los extraterrestres de la historia inicial tenían una visión del mundo basada en este tipo de principios; mientras que conceptos básicos para nosotros, como la velocidad instantánea de un objeto, para ellos eran confusos. No puedo decir nada más, porque os fastidiaría el magnífico relato de Ted Chiang, en el que por otro lado, los extraterrestres son simplemente un vehículo para contar una emotiva historia. Un relato que deberíais leer junto al resto de su escasa pero magnífica obra literaria.

¿Me estás diciendo que cuando la luz sale de una fuente sabe llegar al destino en el menor tiempo?

Eso es lo que da a entender Chiang en su relato, pero en este caso yo no lo tengo tan claro. Veámoslo con un ejemplo:

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Ahora la animación lo que hace es calcular el camino óptimo para cada ángulo de incidencia con la superficie de separación aire/agua, podéis ver cómo llegará al destino anterior solo cuando se den las condiciones óptimas. Lo que quiero decir con esta imagen es que el destino final de la luz, aunque parece estar predeterminado, en realidad depende de los obstáculos que encuentre en su camino; si en lugar de agua se encontrara con otro tipo de material, o la superficie de separación estuviera en otro lugar, el recorrido de la luz se vería afectado pero finalmente sería el que llevaría el menor tiempo entre el origen y el final, ¿no es fascinante la física?

Esta entrada participa en la XLI Edición del Carnaval de la Física, alojado en esta ocasión en el blog El Factor Ciencia.

Más información

  1. La ley de Snell y el principio de Fermat con demostraciones matemáticas.
  2. Principios extremales en Cuentos Cuánticos.
  3. La historia de tu vida, Ted Chiang.
  4. The Feynman Lectures on Physics. 26 – Optics: The principle of least time. Richard P. Feynman. De aquí me agencié la idea del salvavidas, ¡gracias maestro!
  5. Un poco de historia de la óptica.
  6. Aquí encontré al lindo Mitch Buchanan que adorna el post.
  7. Animación creada para ilustrar la relación del principio de Fermat con la ley de Snell en GeoGebraTube.

El principio de exclusión explicado con urinarios

El principio de exclusión de Wolfgang Pauli nos dice que dos electrones en un mismo átomo no pueden tener todos sus números cuánticos iguales. ¿Y qué significa eso? Aquí es donde entran los urinarios. En un centro comercial construido en la época dorada del ladrillo, un constructor un poco garrulo decidió poner un solo baño y con unas características especiales: la distancia entre los grupos de urinarios era inmensa, pero le daba la oportunidad de poner anuncios con las innumerables promociones de pisos de lamentable calidad, ridículo tamaño y exorbitante precio que tenía en venta. Así que los clientes no tenían más remedio que pasar por interminables pasillos de promociones fraudulentas para liberarse de su agüita amarilla y, si había suerte, saldrían con una hipoteca de por vida.

La distribución de los urinarios que se encontraban en el baño de la sección Neón era la siguiente:

Y esos rayos que aparecen en medio tío, ¿es un baño tuneao?—No Johny, eso quiere decir que hay mucha distancia entre urinarios, quiere decir que hay un corte para ver el baño entero.

—Y esos rayos que aparecen en medio, tío, ¿es un baño tuneao?
—No, Johny, no son rayos, eso quiere decir que hay mucha distancia entre urinarios, así que simboliza que hay más distancia de la que se ve en la imagen. Recuerda que el vil constructor corrupto tenía montones de promociones que anunciar.

Ahora es cuando nos ponemos serios, porque los hombres cuando entramos en un baño tenemos una serie de reglas no escritas pero universalmente aceptadas: Lee el resto de esta entrada

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