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Resumen de la edición Alan Turing del Carnaval de Matemáticas

Terminó la semana del Carnaval de Matemáticas y aquí tenéis a Alan Turing, que está leyéndose las 31 historias que se han enviado y los más de 150 microrrelatos:

turing

 

ZTFnews inició el Carnaval con el infinito de las matemáticas, y les damos infinitas gracias por las 6 historias que ha enviado. Gaussianos nos ha enviado nada más y nada menos que tres historias, e incluso trajo un invitado especial para hablar del teorema de incompletitud de Gödel, teorema que provocó las demostraciones de Church con el cálculo lambda y de Turing con su máquina.

Tenemos algoritmos para descifrar el ADN; charlas sobre matemáticas; acertijos; al gran Martin Gardner; juegos que podréis hacer con bolis, caramelos o tabletas de chocolate; e incluso una jovencita de 10 años explicándonos unos trucos geniales para comprobar la divisibilidad de los números. Os dejo con las 31 historias que hemos recibido:

  1. El infinito de las matemáticas, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  2. Sherlock Holmes y el misterio del origen de replicación, desde el blog de Melquíades de ‏@waltzing_piglet 
  3. ¿Cuántos hornos y almacenes puedes unir sin que se crucen los raíles?, desde el blog Equipo Pi de @equipopi
  4. Historia y Epistemología del Infinito matemático, desde el blog Zergio Rubio de @zergiorubio
  5. Bing y su casa con dos habitaciones, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  6. La sorprendente constante de Khinchin, desde el blog Gaussianos de @gaussianos
  7. De intuiciones, etiquetas, Shkespeare y Alfredo, desde el blog Tito Eliatron Dixit de @eliatron
  8. Logaritmos y hechicería, desde el blog el teorema de cuales de @t_cuales
  9. Dos acertijos de Gardner para trolear y una sorprendente utilidad, desde el blog Cifras y Teclas de @cifrasyteclas
  10. Fiesta fractal en Almería, desde el blog Juegos topológicos de @magomoebius
  11. Halloween Matemático, desde el blog matifutbol de @matifutbolcom
  12. El contable hindú de David Leavitt, desde el blog los matemáticos no son gente seria de @juanmtg1
  13. Todos sabían que x era una cantidad desconocida, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  14. ¿Aparece π en la pirámide de Keops?desde el blog Matemáticas digitales de @jcvirin
  15. La ignorancia es muy atrevida, o los peligros de llegar tarde a clase, desde el blog El neutrino de @altatoron
  16. Triángulo de diferencias absolutas desde el blog Pi Medios, de @pimediosES
  17. Juegos matemáticos con tabletas de chocolate, desde el blog Cuaderno de cultura científica (@CCCientifica)
  18. Centenario del nacimiento de Martin Gardner, desde el blog Gaussianos de @Gaussianos
  19. La subnormal, desde el blog Pi Medios de @pimediosES,
  20. Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel, desde el blog Gaussianosde @Gaussianos
  21. Problemas matemáticos sin resolver que cualquier niño puede entender [Conferencia], desde el blog tito eliatron dixit de @eliatron
  22. Distintos caramelos, desde el blog tocamates de @tocamates
  23. Día de la biblioteca: lectura sin fin, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  24. Añadiendo una dimensión, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  25. Fermat, Picasso y Wiles, desde el blog ZTFnews de @ztf_fct
  26. Los trenes no se van por la tangente, desde el blog Haciéndome el sueco de @carlcasan
  27. Happy maths halloween, desde el blog de Araceli Jimenez
  28. Criterios de divisibilidad, desde el blog 30 de diferencia de @jlbenavente
  29. La máquina de turing, desde el blog el zombi de Schrödinger de @cuantozombi
  30. Jackson Pollock como “máquina de coser fluidodinámica” humana, desde el blog la ciencia de la mula francis de @emulenews
  31. La prueba perfecta, desde el blog no molestes a mis círculos de @JosepFont3

Ahora tenéis hasta el día 12 de Noviembre para votar vuestras historias favoritas. Para ello tenéis que dejar un comentario en esta entrada, en el que podréis asignar 4 puntos a vuestra historia favorita, 2 a la segunda y 1 punto a la tercera (y si ponéis el número de cada entrada que votéis, nos haréis un favor para el recuento final ;P). Junto a la votación debéis mencionar vuestro perfil en la web del  Carnaval de Matemáticas.

micromates

También hemos completado la primera etapa de #micromates, con 164 microrrelatos que podéis consultar en este enlace. Los mejores relatos se publicarán junto a los resultados del Carnaval, el día 15 de Noviembre.

Y no os perdáis la próxima edición del Carnaval, que albergará el blog tocamates, imprescindible si queréis aprender un montón de formas de hacer que los niños disfruten de las matemáticas.

Carnaval de Matemáticas. Edición 5.7: Alan Turing

El Carnaval de Matemáticas nos visita, un carnaval al que le tengo especial cariño porque, aunque soy un “extranjero”, siempre ha recibido mis locuelas historias con los brazos abiertos. Este año se dedica cada una de las ediciones a un matemático y, como informático de formación que soy, elijo a:

turing

Alan Turing

La máquina de Turing

Alan Turing es una de las figuras más apasionantes del siglo XX. En 1936, con 24 años de edad, publicó uno de los artículos más influyentes en el mundo de la informática: “On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem“.

Entscheidungsproblem era un problema a caballo entre las matemáticas y la filosofía. Se trataba de saber si había un algoritmo que dada una fórmula de lógica de primer orden, pudiera determinar si era un teorema o no. Por ejemplo, este algoritmo podría aplicarse a la conjetura de Goldbach y nos diría si es un teorema o no.

Para resolverlo, Turing se valió de un experimento “mental”. Ideó una máquina capaz de procesar una serie de datos con unas reglas fijas. A partir de esta primera máquina ideó una segunda, la cual era capaz de leer una descripción de la anterior junto a los datos de entrada y obtener el mismo resultado. En esta idea residía el germen del ordenador actual: una máquina que podía recibir como información un algoritmo y unos datos y obtener un resultado.

Finalmente Turing demostró que este algoritmo no podía existir,  pero esto es algo de lo que os hablaré durante el carnaval, tened paciencia.

La Guerra y los primeros ordenadores

Todavía le quedaba mucha cuerda a este corredor de fondo. Durante la Segunda Guerra Mundial, Alan fue uno de los puntales principales del arma secreta más importante de Churchill. Desde los pabellones de Bletchley Park, Turing y un ejercito de matemáticos, técnicos y personas de toda índole se dedicaron a descifrar los códigos secretos alemanes. Turing colaboró activamente en la creación de Colossus, una máquina de análisis capaz de destripar los códigos del dispositivo Enigma. Los códigos cambiaban diariamente y las máquinas Colossus británicas los descifraban a primeras horas de la mañana. Según palabras del propio Churchill, el trabajo en Bletchley Park redujo la duración de la guerra en dos años.

colossus

una máquina Colossus en plena operación

Del trabajo en las máquinas Colossus, Turing extrajo una gran experiencia que pudo emplear en la creación del primer ordenador británico: ACE. Los americanos acabaron adelantándose con ENIAC, y la falta de presupuesto y sus propios fantasmas acabaron llevando a Turing a la depresión y a la pérdida del control de este proyecto.

Alan fue también una figura importante para la inteligencia artificial. “¿Las máquinas piensan?” fue la pregunta que se hizo Turing y llegó a crear el test de Turing, para intentar dar una primera respuesta a esta pregunta.

El final

Turing cree que las máquinas piensan

Turing yace con hombres

Luego las máquinas no piensan

Alan Turing

Por desgracia Turing también es conocido por su trágico final. Una denuncia por un robo en su apartamento, acabó en una investigación sobre sus tendencias sexuales. El resultado final fue un proceso legal en su contra que acabó con la obligación de realizarse un tratamiento hormonal.

En realidad se trataba de una castración química. A Turing se le retiraron todas las credenciales de seguridad y acceso a edificios del gobierno que había ganado con su importante trabajo durante la guerra. El tratamiento le hizo ganar mucho peso y Alan, un hombre acostumbrado a correr largas distancias, se vio de pronto en un cuerpo que no reconocía y prácticamente solo. El suicidio fue la consecuencia final.

El carnaval

Desde el lunes 20 de octubre hasta el domingo 26 de octubre, tendréis la oportunidad de mandar vuestras historias matemáticas para participar en este carnaval.  El tema es completamente libre y las normas para poder participar son las siguientes:

  1. Publicar, entre el 20 y el 26 de octubre, algún contenido que tenga relación con las matemáticas. (Si no tienes blog, te prestamos el del Carnaval de Matemáticas).
  2. En tu publicación, enlazar a la web del Carnaval de Matemáticas y a esta entrada. Por ejemplo así:

    Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

    Y si quieres puedes incluir el logo de la edición.

  3. Avisarme para que pueda incluir tu aportación en el resumen enviando tu enlace de cualquiera de estas formas:

 

La sorpresa

Habrá sorpresa durante la semana del carnaval. Si seguís este blog, ya os imaginaréis lo que estamos preparando. Dentro de unos días ampliaremos la información, id afinando vuestro ingenio matemático en 140 caracteres.

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Aquí me quedo, esperando vuestras historias.

Ediciones anteriores

 

En el infinito, las cosas no son lo que parecen

Dividir un número entre cero no da como resultado un número infinitamente grande. La razón es que la división se define como una multiplicación a la inversa: si se divide entre cero, y luego se multiplica por cero, debería recuperarse el número con el que se comenzó. Sin embargo, multiplicar infinito por cero da como resultado cero, y ningún otro número. No hay nada que pueda ser multiplicado por cero para dar un resultado que no sea cero; por tanto, el resultado de una división entre cero está literalmente “indefinido”.

Ted Chiang. Dividido entre cero.

Cuando se estudian matemáticas en el bachillerato y en la universidad, el infinito aparece en todo su esplendor. Nos acostumbramos tanto a calcular límites cuando x tiende a infinito y a obtener límites cuyo resultado es “infinito”, que acabamos considerándolo como algo normal.

Sin embargo, el infinito es un concepto peliagudo, que nos puede llevar a paradojas que van contra la propia razón. Georg Cantor dedicó gran parte de su carrera al estudio del infinito y obtuvo resultados que van en contra del sentido común y que le acarrearon más de un enemigo y muchos disgustos personales.

El campo de estudio de George Cantor fue la teoría de conjuntos, y utilizó esta teoría para acercarse al infinito. Por ejemplo, para demostrar que los números enteros pares e impares son conjuntos con el mismo número de elementos, Cantor asignaba a cada número del conjunto de los pares, un número del conjunto de los impares:

pares

Asignación entre los números pares e impares positivos

Si conseguimos que esta asignación sea biunívoca, es decir que a cada elemento de un conjunto le pertenezca un único elemento del otro conjunto y viceversa, habremos demostrado que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Una idea elegante y sencilla, pero veamos a dónde nos lleva esta idea si seguimos avanzando.

¿Qué os parece si ahora comparamos los números enteros con los números racionales? Los números racionales son aquellos formados por una fracción en la que numerador y denominador son números enteros. Por ejemplo, 2/1 es un número racional, que a la vez es 2, un número entero. Sin embargo 1/2 es un número racional, pero no es un número entero, ya que tiene parte decimal. Todos los números enteros pueden expresarse como un número racional, simplemente tenemos que dividirlos entre uno, pero no ocurre a la inversa.

Pero ahora comparemos ambos conjuntos a la manera de Cantor. En esta ocasión, Georg ordenó los números racionales de la siguiente forma:

En primer lugar los números cuyo numerador y denominador suman 2, luego los números cuyo numerador y denominador suman 3, y así sucesivamente, colocando primero las fracciones con un numerador menor:

racionales1

Fracciones para las que la suma de denominador y numerador es 2, 3, 4 y 5.

Ahora que hemos conseguido un orden, nos bastará con ir asociando números enteros positivos a cada número racional positivo:

racionales2

Vamos situando las fracciones según la suma de denominador y numerador y vamos asignando a cada una un número entero.

Y como a cada fracción podemos asociarle un número entero y viceversa, podemos deducir que el conjunto de los números racionales tiene el mismo número de elementos que el de los números enteros.

contando

No me miréis así, a Cantor le criticaron tanto que el hombre acabó un poco deprimido, así que ahora no os paséis conmigo, que soy un simple mensajero y queda lo mejor por contar.

Puntos, puntos y más puntos

Vamos ahora a comparar los números enteros con los números reales. Tomemos una recta cualquiera, como esta:

recta

En esta recta hay infinitos puntos: tenemos el 0, el 1, el 0.5, el 0.5000000001, etc. Un día me preguntaron cómo representaría el concepto de infinito, pinté esta misma recta y solté una charla. Sí, tal como estáis pensando, no tengo muchos amigos.

Vamos a ver si podemos relacionar el conjunto de puntos de esta recta con los números enteros. Lo primero será buscar una forma de ordenar los puntos de la recta para poder asociarle, a cada uno, un número entero.

Veamos, podemos empezar por el cero, luego podemos coger el 0.1 y entonces mmmh… No.  Si ponemos luego el 0.1 nos dejamos por el camino el 0.01, y el 0.001, y el 0.o001 y ¡UFF! ¡Podemos seguir hasta tener infinitos ceros antes de poner un miserable 1! Y bueno, estos ejemplos son números racionales, podríamos usar un truco parecido al anterior, pero es que por medio también habrá números irracionales y cada vez que queramos realizar una ordenación, el listo de turno podrá añadir un nuevo decimal y reírse de nosotros.

tfacepalm

Cuando abrimos el tarro de las esencias de los números reales, nos aparece un número infinito de decimales y en muchas ocasiones sin ningún tipo de periodicidad.

No podemos conseguir una ordenación de los puntos que hay dentro de nuestra recta que nos permita asociar cada uno de ellos a un número entero. Para realizar la demostración, Cantor pensó en un orden cualquiera asociado a los números reales entre 0 y 1, por ejemplo:

ordenacionimposible4

En esta matriz estarían todos los números reales entre cero y uno, con un número entero asociado. Ahora bien, formemos un número de la siguiente forma: del primer número escogemos el primer decimal, le sumamos uno y lo colocamos en el primer decimal de nuestro nuevo número; del segundo número escogemos el segundo decimal, le sumamos uno y lo situamos en el lugar del segundo decimal y así sucesivamente. En nuestro caso tendríamos: 0.309448498…

Pues bien, el número que acabamos de crear, no forma parte de la ordenación anterior. En cualquier lugar que lo coloquemos, el decimal correspondiente a esa posición será incorrecto. Por ejemplo, si lo colocáramos en la posición 9, el noveno decimal es diferente, ya que su valor es el de ese mismo decimal más uno. El número que hemos creado siempre “chocará” en la diagonal independientemente de donde queramos colocarlo. La ordenación que hemos supuesto inicialmente es imposible.

Ante este hecho, Cantor declaró que el infinito del número de puntos que se encuentran en una recta es de un orden superior al infinito del número de elementos de los números enteros.

Pero, ¿y si comparamos nuestra pequeña recta con una más grande?

triángulo

En este simple esquema, podemos ver cómo siempre podremos asignar a cada punto de la recta más grande (roja), uno de la recta más pequeña (azul). Solo hay que colocar las rectas formando un triángulo y lanzar líneas paralelas como las que vemos en el esquema.

¿Y si la segunda recta es infinitamente larga? Para verlo mejor me vais a permitir un truco: doblar la primera recta hasta formar un círculo, y lo  colocamos así en nuestra recta infinita:

lineaycirculo

Bueno, imaginad que la línea roja sigue hacia el infinito por la derecha y por la izquierda, tampoco seamos tiquismiquis.

Ahora ponemos un punto fijo arriba, en la parte del círculo más alejada de la recta, y un punto móvil abajo:

lineacirculointerseccion

Al trazar una recta que atraviesa ambos puntos, tenemos una intersección con la línea roja. Ahora movamos el punto móvil bordeando el semicírculo que queda debajo de la línea roja:

infinitoabajo0

Al mover el punto sobre el semicírculo de abajo, podemos obtener cada uno de los puntos de la recta que quedan dentro del círculo. Solo tenemos que tomar pasos cada vez más pequeños si queremos más precisión. ¿Pero qué pasa cuando movemos el punto por el semicírculo que queda encima de la recta?

infinitoarriba0

Podemos obtener todos los puntos que hay en la recta y que han quedado fuera del círculo jugando con el desplazamiento del punto móvil; a medida que lo hagamos con más precisión, podremos obtener cualquier punto que deseemos. Si queremos obtener los puntos negativos, solo tenemos que recorrer el resto del semicírculo.

Así que el conjunto de puntos de cualquier recta que elijamos tiene la misma cardinalidad, independientemente de su tamaño, incluso si tenemos una recta de un tamaño infinito.

cantorinfinito2

Subiendo de dimensión

¿Y los puntos de un cuadrado? Evidentemente el conjunto de los puntos de un cuadrado tendrá un número infinito de elementos, pero ¿será comparable a una recta?

Habrá que buscar una forma de ordenar los pares de puntos de un cuadrado de forma que cada uno se corresponda con un único punto de la recta. Vamos a escoger un cuadrado de lado 1 y una recta de longitud 1:

cuadradoyrecta

Escogemos un punto del cuadrado y obtenemos sus coordenadas, por ejemplo (0.25, 0.33). Podríamos crear a partir de estas coordenadas el siguiente número: 0.2533, incluyendo primero los decimales de la primera coordenada y luego los de la segunda.

cuadradomal1

Pero ¿y si cogemos el par de puntos (0,2 ,0,533)? Pues no, no funciona, porque el punto de la recta que obtendríamos sería 0.2533, el mismo que habíamos obtenido antes.

cuadradomal2

¿Cómo podemos conseguir una ordenación que nos permita asignar a cada par de puntos del cuadrado un punto de la recta? Piénsalo un poco, intenta dar con la forma correcta para formar el valor asignado a la recta y, cuando quieras ver la solución, ve al final del artículo.

La solución existe y llevó a Cantor a proclamar que el segundo orden de infinito era el formado por el conjunto de puntos de cualquier objeto geométrico, en un número de dimensiones cualquiera. Es decir, el conjunto de los puntos que se encuentra dentro de un cubo de cualquier tamaño tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los puntos que hay dentro de una pequeña recta.

Hay un tercer orden de infinito descubierto por Cantor, pero esa es otra historia que merece ser contada en otra ocasión, ahora os dejo con una última paradoja.

La paradoja final

Si has llegado hasta aquí, te estoy infinitamente agradecido, aunque debo confesarte que en todo lo que he contado hay oculta una paradoja muy curiosa.

Hemos visto cómo a partir de un círculo podemos obtener todos los puntos de la recta real. ¿Todos?, ¿seguro?

A medida que acercamos el punto móvil al fijo, por la derecha o por la izquierda, obtenemos cada vez valores más grandes, prácticamente imposibles de transcribir. ¿Cuándo alcanzaremos el valor infinito exactamente? Lo lógico sería pensar que lo obtendremos cuando los dos puntos se junten, ocupando el mismo espacio.

paradoja

Pero si se trata del mismo punto, ¿cómo podemos trazar la línea recta que servía para conseguir la intersección con la recta real? No, no se puede. Con un solo punto no puede definirse una línea porque, amigos, el infinito es indefinido.

bart

MULTIPLÍCATE POR CERO

Hay una forma de llegar a formar esa línea recta, al prescindir del punto móvil y usar “otra cosa”, pero también llegaríamos a una paradoja. ¿Te animas a intentarlo?

La solución al cuadrado

Para obtener un solución al problema del cuadrado hay que utilizar un truco muy ingenioso:

Tenemos 0.25 y 0.5. Pues bien, lo que haremos será ir escogiendo en cada ocasión un decimal de cada uno de los puntos. Primero cogeremos el 2 de 0.25, luego el 5 de 0.53, a continuación el 5 de 0.25 y así sucesivamente. De esta forma tendremos:

coordenadas1

Cuando una de las coordenadas no tiene el mismo número de cifras significativas que la otra, utilizaremos el cero. Por ejemplo (0.200, 0.553)

Mediante este sistema, podemos situar cada par de puntos del cuadrado en un único punto de la recta. Además, si nos fuéramos a un número mayor de dimensiones, solo tendríamos que ir repitiendo el proceso para más coordenadas, por ejemplo:

coordenadas2

En definitiva, Cantor era un genio.

Este artículo participa en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas. El carnaval tiene lugar en el blog Cifras y teclas, un lugar que no os podéis perder.

Y este artículo fue el más votado en la edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas y en consecuencia, puedo lucir este bonito entorchado:

Premio-CarnaMat56

Más información

One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science (Dover Books on Mathematics). George Gamow.

Georg Cantor en Wikipedia en español, Wikipedia en inglés (más completo).

La historia de tu vida. Recopilatorio de relatos de ciencia ficción en el que aparece división por cero.

@SamuelDalva este artículo le ha recordado la paradoja de la rueda de Aristóteles.

@Gaussianos nos ha recordado un artículo sobre la diagonalización de Cantor.

Por último, tengo que agradecer a mi profesor de Métodos Matemáticos I en la UNED, Juan Perán, por descubrirme esta historia en una de sus magníficas clases.

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